连续函数的运算1-10闭连性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.7 内容回顾,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是,的,高阶,无穷小,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,常用等价无穷小:,定理 设,且,存在,(或为),则,(或为),1.8 内容回顾,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,确定函数,间断点的类型.,解:,间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,P65 题5,提示:,证明函数,f,(,x,)处处不连续.,和无理点列,而,所以,证:,对任意实数,x,0,取有理点列,x,n,且,x,n,x,0,.,不存在,所以,f,(,x,)在,x,0,处不连续.,由,x,0,的任意性得,函数,f,(,x,)处处不连续.,而,显然处处连续.,证明函数,f(x),仅在,x=,0处连续.,和无理点列,而,所以,(2),对任意实数,x,0,(0),取有理点列,x,n,且,x,n,x,0,.,不存在,(1),在,x=,0处,.,因为,所以,f(x),在,x=,0处连续.,函数,f(x),在非零点处,处处不连续.,总之函数,f(x),仅在,x=,0处连续.,证:,一、连续函数的运算法则,二、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,在,上连续.,证:,先证明,所以,由,得,(不妨设,a,1),记,0,a,0.,+),0,0,0,0,0,矛盾.,所以,正根,且不超过,a+b,.,证：,2.,证明:方程,令,且,根据零点定理,总之原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,至少有一个,(1)若上式等号成立,则有正根a+b,(不超过,a+b,).,(2)若上式等号不 成立,为原方程的一个正根.,(也不超过,a+b,).,3.,斜渐近线问题(P75 13),直线L:,y,=,ax,+,b,是曲线,y,=,f,(,x,)的渐近线,而点M(,x,f,(,x,)到直线L的距离,反之,若,(,a,0时L是曲线,y,=,f,(,x,)的斜渐近线),则,=00,直线L:,y,=,ax,+,b,是曲线,y,=,f,(,x,)的渐近线,(,a,0时L是曲线,y,=,f,(,x,)的斜渐近线),曲线,的斜渐近线(),曲线,的斜渐近线为(),(05考研),曲线,的斜渐近线为(),(05考研),(00考研),曲线,的斜渐近线为(),(99考研),曲线,的斜渐近线为(),(98考研),涉及到渐近线方面的填空题与选择题还有很多(水平,铅直,斜),若 ,则a=();b=().,实际上,y,=,ax,+,b,是曲线,y,=,f,(,x,)的渐近线,如,若 ,则a=();b=().,=1,4.,下列函数不是初等函数的是(),但在,x,=0处不连续.,所以不是初等函数.,(4),