函数的极值与最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数极值及求法,二、最值的求法,三、应用举例,四、小结及作业,一、函数极值及求法,定义,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,定理1,(必要条件),定理表明：,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例2.,求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,导数不存在的点,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理3(第二充分条件),证,例3,解,图形如下,注意:,设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且：,解：,所以不论 ，还是 均有,二、最值的求法,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),三、应用举例,例1,解,计算,比较得,点击图片任意处播放暂停,例2,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，,速度为2千米/分钟,问我军摩托车何,时射击最好（相,距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例3,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,点击图片任意处播放暂停,例4,解,如图,解得,所以F(x)在0，1 上最大值为 1。,四、小结,极值是函数的局部性概念:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,函数的极值必在,临界点,取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),注意最值与极值的区别.,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练 习 题,练习题答案,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,练 习 题,练习题答案,