高等数学方向导数与梯度

*,9.8,方向导数与梯度,9.8.1,方向导数,定义9.5 (方向导数),设二元函数,z,=,f,(,x,y,)在点,P,0,(,x,0,y,0,),的某一邻域,内有定义,l,是以,P,0,(,x,0,y,0,),为起点的射线,为其方向向量,.,如果极限,1,存在,则称此极限为函数,z,=,f,(,x,y,)在点,P,0,(,x,0,y,0,),记为,如果函数,f,(,x,y,)在区域,D,内任何一点,(,x,y,),处沿方向,或,的方向导数都存在,注:,方向导数是函数沿半直线方向的变化率,.,则 为,D,内的一个函数,称为,f,(,x,y,),沿方向 的方向导函数,(,简称方向导数,).,处沿方向,的,方向导数,2,t,一定为正,!,是函数在某点沿,任何方向,的变化率,.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿,平行于坐标轴,的直线,x,、,y,可正可负,！,的变化率,.,3,的方向导数存在,同理,函数,的方向导数存在,存在时,当函数,4,函数,函数,5,类似,可定义三元函数的方向导数,对于三元函数,它在空间一点,的方向导数,定义为,其中,6,定理9.12,处,可微,则函数,且,其中,类似地,如果三元函数,处可微,且,其中,7,注,即为,(1),(2),计算方向导数只需知道,l,的方向及函数的,偏导数.,在定点,的方向导数为,(3),(4)关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,8,解,令,故,其方向余弦为,例 设,处指向外侧的法向量,求函数,9,故,10,解,(1),最大值,;(2),最小值,;(3),等于零,?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例 求,函数,11,故,(1),方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,0.,和,(1),最大值,;,(2),最小值,;,(3),等于零,?,问在怎样的方向上此方向导数有,(2),(3),12,考虑函数,定点,P,0,(3,1),P,1,(2,3).,解,求函数在,P,0,沿,方向的方向导数,.,练习,13,练习,求函数 在点,处沿,解,切线方向的方向向量,在此,点的切线方向上,曲线,的方向导数.,14,解,此,方向的方向向量为,练习,15,方向导数,最大,或,最小,?,9.8.2,梯度的概念,问题,:,函数 沿什么方向的方向导数为,方向导数取最大值,方向导数取最小值,其中,而,方向一致时,方向相反时,16,定义9.6,记作,即,处的,梯度,则梯度又可记为,为函数,称向量,引用记号,称为奈布拉算子,或称为,向量微分算子或哈密尔顿算子,17,结论:,函数在某点的,梯度,是这样一个,向量,它的,方向,与取得,最大方向导数,的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,.,梯度的模为,沿着 方向,函数减少得最快,.,方向：,模：,f,变化率最大的方向,f,的最大变化率之值,18,在几何上,被平面,所得曲线在,xOy,面上投影是一条平面曲线,称为,曲面,的,等高线,表示一个曲面,所截得,等高线,两端微分,得,19,法线的斜率,为,:,所以,梯度,为等高线上点,P,处的,法向量,.,由于等高线,上任一点,等高线,20,梯度与等高线的关系：,在同一直线上,且从数值较低,的,等高线,指向数值较,高,的,等高,线,.,的梯度的方向与点,P,的,等高,21,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方,梯度的概念可以推广到三元函数,则函数在该点的梯度为,设三元函数 在点P处可微分,向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值,.,22,解,故,可得,在 处梯度为,令,例,求函数 在点,处的梯度,并问在哪些点处梯度为零,?,23,解,练习,24,解 因为,正南方向,问他应当怎样往上登才能攀登得最快?,例,一个登山者在山坡上点,处,山坡,的高度,z,近似为 若以,x,轴正向为,在点,处,与梯度,方向一致时,攀登最快.,如果以,x,轴正向为正南方向,则登山者应沿南偏东约 方向攀登,攀登得最快,.,25,作业,习题9.8,(209页),1.(3)2.3.(3),26,