全等三角形(常见辅助线)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,A,B,D,E,F,M,N,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,AB=AD,BC=DC,求证,:B=D.,A,C,B,D,连接,AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,如图,AB,与,CD,交于,O,且,AB=CD,，,AD=BC,，,OB=5cm,，求,OD,的长,.,连接,BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,第二关,角平分线性质,如图,ABC,中,C=90,o,BC=10,BD=6,AD,平分,BAC,求点,D,到,AB,的距离,.,过点,D,作,DEAB,于点,E,A,C,D,B,E,角平分线上的点向角两边做垂线段,PD=PE.,PD=PE,如图,OC,平分,AOB,角平分线上点向两边作垂线段,过点,P,作,PFOA,PG OB,垂足为点,F,点,G,F,G,A,C,D,B,E,P,O,DOE+DPE=180,DOE+DPE=180,求证,:,证明,:,例,1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，求证：,A+C=180,D,A,B,C,M,作,DMBC,于,M,，,DNBA,交,BA,的延长线于,N,。,BD,是,ABC,的角平分线（已知）,1=2,（角平分线定义）,DNBA,，,DMBC,（已知）,N=DMB=90,（垂直的定义）,在,NBD,和,MBD,中,N=DMB,（已证）,1=2,（已证）,BD=BD,（公共边）,NBDMBD,（）,1,2,4=C,（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*,ND=MD,（全等三角形的对应边相等）,DNBA,，,DMBC,（已知）,NAD,和,MCD,是,Rt,在,RtNAD,和,RtMCD,中,ND=MD,（已证）,AD=CD,（已知）,RtNADRtMCD,（,H.L,）,3+4,180,（平角定义），,A,3,（已证）,A+C,180,（等量代换）,第三关,中垂线法,ABC中,ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE AB于E，作DFAC于F。,求证：BE=CF,A,B,C,D,E,F,M,连接,DB,DC,垂直平分线上点向两端连线段,如图，已知三角形,ABC,中,BC,边上的垂直平分线,DE,与角,BAC,的平分线交于点,E,，,EF,垂直,AB,交,AB,的延长线于点,F,，,EG,垂直,AC,交,AC,于点,G,。求证：,(1)BF=CG,(2),判定,AB+AC,与,AF,的关系,第四关,截长补短法,已知在,ABC,中，,C=2B,1=2,求证,:AB=AC+CD,A,D,B,C,E,1,2,在,AB,上取点,E,使得,AE=AC,，连接,DE,截长,F,在,A,C,的延长线上取点,F,使得,CF=CD,，连接,D,F,补短,A,1,B,C,D,2,3,4,如图所示，已知,ADBC,，,1=2,，,3=4,，直线,DC,经过点,E,交,AD,于点,D,，,交,BC,于点,C,。求证：,AD+BC=AB,E,F,在,AB,上取点,F,使得,AF=AD,连接,EF,截长补短,证明,：,例,1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，求证：,A+C=180,D,A,B,C,E,在,BC,上截取,BE,，使,BE=AB,，连结,DE,。,BD,是,ABC,的角平分线（已知）,1=2,（角平分线定义）,在,ABD,和,EBD,中,AB=EB,（已知）,1=2,（已证）,BD=BD,（公共边）,ABDEBD,（）,1,2,4,3,3+4,180,（平角定义），,A,3,（已证）,A+C,180,（等量代换）,3,2,1,*,A,3,（全等三角形的对应角相等）,AD=CD,（已知），,AD=DE,（已证）,DE=DC,（等量代换）,4=C,（等边对等角）,AD=DE,（全等三角形的对应边相等）,证明,:,例,1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，求证：,A+C=180,D,A,B,C,F,延长,BA,到,F,，使,BF=BC,，连结,DF,。,BD,是,ABC,的角平分线（已知）,1=2,（角平分线定义）,在,BFD,和,BCD,中,BF=BC,（已知）,1=2,（已证）,BD=BD,（公共边）,BFDBCD,（）,1,2,4,3,F,C,（已证）,4=C,（等量代换）,3,2,1,*,F,C,（全等三角形的对应角相等）,AD=CD,（已知），,DF=DC,（已证）,DF=AD,（等量代换）,4=F,（等边对等角）,3+4,180,（平角定义）,A+C,180,（等量代换）,DF=DC,（全等三角形的对应边相等）,练习,1,如图，已知,ABC,中，,AD,是,BAC,的角平分线，,AB=AC+CD,，求证：,C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明,:,在,AB,上截取,AE,，使,AE=AC,，连结,DE,。,AD,是,BAC,的角平分线（已知）,1=2,（角平分线定义）,在,AED,和,ACD,中,AE=AC,（已知）,1=2,（已证）,AD=AD,（公共边）,AEDACD,（）,3,B=4,（等边对等角）,4,*,C,3,（全等三角形的对应角相等,),又,AB=AC+CD=AE+EB,（已知）,EB=DC=ED,（等量代换）,3=B+4=2B,（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）,C=2B,（等量代换）,ED=CD,（全等三角形的对应边相等）,练习,1,如图，已知,ABC,中，,AD,是,BAC,的角平分线，,AB=AC+CD,，求证：,C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明,:,延长,AC,到,F,，使,CF=CD,，连结,DF,。,AD,是,BAC,的角平分线（已知）,1=2,（角平分线定义）,AB=AC+CD,，,CF=CD,（已知）,AB=AC+CF=AF,（等量代换）,ACB=2F,（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）,ACB=2B,（等量代换）,3,2,1,*,在,ABD,和,AFD,中,AB=AF,（已证）,1=2,（已证）,AD=AD,（公共边）,ABDAFD,（）,F,B,（全等三角形的对应角相等）,CF=CD,（已知）,B=3,（等边对等角）,第五关,中线倍增法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用,倍长中线法,，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若,AD,为,ABC,的中线，,必有结论,：,A,B,C,D,E,1,2,延长,AD,到,E,，使,DE=AD,，连结,BE,（也可连结,CE,）。,ABDECD,，,1=E,，,B=2,，,EC=AB,，,CEAB,。,已知，如图,AD,是,ABC,的中线，,A,B,C,D,E,延长,AD,到点,E,，使,DE=A,D,，,连结,CE.,思考：若,AB=3,AC=5,求,AD,的取值范围？,倍长中线,如图，已知直线,MNPQ,，且,AE,平分,BAN,、,BE,平分,QBA,，,DC,是过,E,的任意线段，交,MN,于点,D,，交,PQ,于点,C,。求证：,AD+AB=BC,。,证明,:,延长,AE,，交直线,PQ,于点,F,。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,第六关,周长问题转化,1.,如图,ABC,中,C=90,o,AC=BC,AD,平分,ACB,DEAB.,若,AB=6cm,则,DBE,的周长是多少,?,.“,周长问题”的转化 借助“,角平分线性质,”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.,如图,ABC,中,D,在,AB,的垂直平分线上,E,在,AC,的垂直平分线上,.,若,BC=6cm,求,ADE,的周长,.,.“,周长问题”的转化 借助“,垂直平分线性质,”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.,如图,ABC,中，,BP,、,CP,是,ABC,的角平分线，,MN/BC.,若,BC=6cm,AMN,周长为,13cm,，求,ABC,的周长,.,.“,周长问题”的转化 借助“,等腰三角形性质,”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+BM+AN+NC+6,N,AM+MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,线段与角求相等，先找全等试试看。,图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段计算和与差，巧用截长补短法。,三角形里有中线，延长中线,=,中线。,想作图形辅助线，切莫忘记要双添。,小结,