同济六版多元函数的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第九章,第一节,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,本节重点,了解多元函数的基本概念,会求函数的定义域,会求简单的多元函数的极限,知道极限不存在的说明方法,平面点集，n维空间,一、 平面点集 n维空间,直线R中的点集,实数集，一维空间,区间,自然数集,1、平面点集,实平面，二维空间，坐标平面,平面点集,常见平面点集,2.,邻域,回忆： R中的邻域；,平面中的邻域,点P,0,（x,0，,y,0,）的,邻域；,空间中的邻域,点P,0,（x,0,，y,0,，z,0,）的,邻域；,说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点,P,0,的,去心邻域,记为,3.,区域,(1),内点、外点、边界点,设有点集,E,及一点,P,:,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,= ,若对点,P,的,任一,邻域,U,(,P,) 既含,E,中的内点也含,E,则称,P,为,E,的,内点,；,则称,P,为,E,的,外点,;,则称,P,为,E,的,边界点,.,的外点 ,显然,E,的内点必属于,E,E,的外点必不属于,E,E,的,边界点可能属于,E, 也可能不属于,E,.,(2),聚点与孤立点,若对任意给定的,点,P,的去心,邻域,内总有,E,中的点 ,则,称,P,是,E,的,聚点,.,聚点可以属于,E, 也可以不属于,E,(因为聚点可以为,E,的边界点 ),所有聚点所成的点集称为,E,的,导集,，记作 .,若点集,E,的点都是,内点,，则称,E,为,开集,；,例如，,即为开集,开集不包含它的任何边界点,若点集,E,E, 则称,E,为,闭集,；,E,的边界点的全体称为,E,的,边界, 记作,E,;,点集E是,闭集,，是指它包含了,它的每一个非孤立的边界点。,例如,即为闭集,(3),开集与闭集,D,(4),开区域及闭区域,若集,D,中任意两点都可用一完全属于,D,的折线相连 ,开区域连同它的边界一起称为,闭区域,.,则称,D,是,连通的 ;,连通的开集称为,开区域,简称,区域 ;,。 。,例如，,在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 .,对区域,D, 若存在正数,K, 使一切点,P,D,与某定点,A,的距离 ,AP,K,则称,D,为,有界域,界域,.,否则称为,无,二元函数的概念,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义1.,设非空点集,点集,D,称为函数的,定义域,;,数集,称为函数的,值域,.,特别地 , 当,n,= 2 时, 有二元函数,当,n,= 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在,D,上的,n,元函数, 记作,多元函数的定义域,多元函数的定义域：明确指定或约定,定义域的约定：,使函数表达式有意义的所有点的集合。,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数,z = f,(,x,y,), (,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面,.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,二元函数的图形,求多元函数的表达式,例 设 ，,求,解,因为,得,所以,多元函数的极限,三、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例1 求证,证,当 时，,原结论成立,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:,设,P,(,x,y,) 沿直线,y,=,k x,趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k,值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例2.,讨论函数,函数,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注.,二重极限,不同,.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由,例2,知它在(0,0)点二重极限不存在 .,多元函数的极限运算法则与一元函数类似，比如,四则运算法则,夹逼准则,等价无穷小代换（因式代换）,但罗比达法则不再成立！,例3 求极限,解,其中,多元函数的连续性,四、,多元函数的连续性,定义3,.,设,二,元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续, 则称此函数,在,D,上,如果,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,二,元函数,连续,.,连续,回忆一元函数的连续性,例如,函数,在点(0 , 0) 极限不存在,故 ( 0, 0 )为其间断点.,结论:,一切多元初等函数在定义区域内连续.,多元初等函数；,由多元多项式及基本初等函数经过,有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个,式子所表示的多元函数叫,多元初等函数,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域。,初等函数,处处连续,又如,函数,上间断.,在圆周,例4,解,例5.,证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,课内练习 p63,6(6),定理,：,若,f,(,P,) 在有界闭域,D,上连续, 则,*,(4),f,(,P,) 必在,D,上一致连续 .,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域,上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),作业,P62 3，5（偶数），,6（奇数），7,8,