矩阵的特征值与特征向量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 矩阵的特征值与特征向量,在,经济理论,及其应用中,常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题,数学中诸如,方阵的对角化,及,解微分方程组,的问题,也都要用到特征值的理论,2,引言,纯量阵,l,E,与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即,(,l,E,n,),A,n,=,A,n,(,l,E,n,)=,l,A,n,矩阵乘法一般不满足交换律，即,AB,BA,数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即,l,(,AB,)=(,l,A,),B,=,A,(,l,B,),Ax,=,l,x,?,例：,一 特征值与特征向量定义,:,非零列向量,X,称为,A,的对应于特征值,的,特征向量,定义,6,设,A,是,n,阶矩阵,如果对于数,，,存在,n,维,非零,列向量,X,使,A,X,X,成立,则,称,为方阵,A,的一个,特征值,第一节 矩阵的特征值与特征向量,p117,A,X,X,如何求特征值,和,特征向量,?,即,齐次方程有非,0,解,齐次方程有非,0,解的,充要条件,是系数行列式为,0,即,|,I,A,|,0,(2)|,I,A,|,0,称为方阵,A,的特征方程,二 特征多项式,与,特征方程,定义,设,A,为,n,阶方阵,(1),f,(,),|,I,A,|,称,为,方阵,A,的特征多项式,即,即,(3),方阵,A,的特征值,就是,特征方程,|,I,A,|,0,的根,所以方阵,A,的特征值,也称为,方阵,A,的,特征,根,齐次线性方程组,的每一个,非零解,向量，,都是方阵,A,的对应于特征值,的,特征向量,所以方阵,A,对应于每一个不同特征值,的特征向量都有无穷多个,三 特征向量,定理,1,如果非零向量,X,为矩阵,A,对应于特征值,的特征向量,则,CX,(,C,0,为任意常数）也是,A,对应于特征值,的特征向量,定理,2,如果,X,1,，,X,2,为矩阵,A,对应于特征值,的特征向量，,且,X,1,+,X,2,0,，则,X,1,+,X,2,也是,A,对应于特征值,的特征向量，,即,:,矩阵,A,对应于,同一特征值,的特征向量的非零线性组合仍然为,A,对应于,特征向量,(,不能为,0),综上所述,求矩阵,A,的特征值及特征向量的步骤如下,:,第一步 计算矩阵,A,特征多项式,|,I,A,|,;,第二步 求出矩阵,A,的特征方程,|,I,A,|=0,的全部根,即求得,A,的全部特征值,1,，,1,，,-,n,，,(,其中可能有重根）,第三步 对于,A,的每个特征值,i,求出对应的齐次线性方程组,（,i,I,A,）,X,=0,的一个基础解系,.,矩阵,A,对应,于特征值,i,的全部,特征向量为,例,1,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1),A,的特征方程为,所以,A,的特征值为,1,4,2,-2,(2),当,1,4,时,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,1,4,的,全体,特征向量为,例,1,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(3),当,2,-2,时,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,2,-2,的,全体,特征向量为,例,2,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1),A,的特征方程为,所以,A,的特征值为,1,2,2,4,(2),当,1,2,时,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,1,2,的,全体,特征向量为,例,2,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(3),当,2,4,时,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,2,4,的,全体,特征向量为,例,3,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1),A,的特征方程为,所以,A,的特征值为,1,2,4,，,3,2,例,3,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征值为,1,=,2,=,4,3,2,(2),当,1,2,=4,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,1,2,=4,的,全体,特征向量为,例,3,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征值为,1,=,2,=,4,3,2,(3),当,3,=2,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,3,2,的,全体,特征向量为,例,4,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1),A,的特征方程为,所以,A,的特征值为,1,=,2,=,1,3,2,例,4,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征值为,1,=,2,=,1,3,2,(2),当,1,2,=1,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,1,2,=1,的,全体,特征向量为,例,4,求矩阵 的特征值和特征向量,解,A,的特征值为,1,=,2,=,1,3,2,(3),当,3,2,其基础解系可取为,则,矩阵,A,对应,于特征值,3,=2,的,全体,特征向量为,在复数范围内,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值（重根按重数计算）,设,n,阶矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,l,n,，则,l,1,+,l,2,+,l,n,=a,11,+,a,22,+,a,nn,l,1,l,2,l,n,=|A|,（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）,四 特征值与特征向量的性质,例,5,设,是方阵,A,的特征值,证明,(1),2,是,A,2,的特征值,证明,因为,是,A,的特征值,故有,X,0,使,A,X,X,于是,(1),A,2,X,2,X,(,A,X,),A,(,X,),A,(,A,X,),所以,2,是,A,2,的特征值,因为,X,0,知,0,有,X,A,1,X,由,A,X,X,(2),当,A,可逆时,(2),当,A,可逆时,是 的特征值,是 的特征值,例,5,：,设,l,是方阵,A,的特征值，证明,(1),l,2,是,A,2,的特征值；,(2),当,A,可逆时，,1/,l,是,A,1,的特征值,结论：,若非零向量,p,是,A,对应于特征值,l,的特征向量，则,l,2,是,A,2,的特征值，对应的特征向量也是,p,l,k,是,A,k,的特征值，对应的特征向量也是,p,当,A,可逆时，,1/,l,是,A,1,的特征值，对应的特征向量仍然是,p,一般地，令,则,例,6,：,设,3,阶方阵,A,的特征值为,1,1,2,，求,A,*,+3,A,2,E,的特征值,解：,A,*,+3,A,2,E,=|,A,|,A,1,+3,A,2,E,=2,A,1,+3,A,2,E,=,j,(,A,),其中,|,A,|=1,(1),2=2,从而,A,*,+3,A,2,E,的特征值分别为,例,7,主对角线上的元素为,1,，,2,-,n,的,n,阶,对角矩阵,或三角形矩阵,A,的,n,个,特征值就是其,主对角线上的,n,个,元素,1,，,2,-,n,定理,4,n,阶,方阵,A,与它的转置矩阵,A,T,有相同的特征值,证明,转置矩阵,A,T,的特征多项式为,即,方阵,A,与它的转置矩阵,A,T,有相同的特征多项式,所以,方阵,A,与它的转置矩阵,A,T,有相同的特征值,例,8,证明,:,方阵,A,为奇异矩阵的充要条件是,A,有一个特征值为,0,证明,必要性,则,如果,A,为奇异阵,所以,A,有一个特征值为,0,充分性,如果,A,有一个特征值为,0,，对应的特征向量为,X,则,有非,0,解,所以,|A|=0,定理,3,n,阶,方阵,A,可逆的充要条件是,A,的每一个特征值均不为,0,p120,定理,2,设,1,2,m,(,m,n,),是,n,阶,方阵,A,的,m,个互不同特征值,X,1,X,2,X,m,分别是,A,对应于,1,2,m,的特征向量,则,X,1,X,2,X,m,线性无关,A,(,k,1,X,1,k,2,X,2,k,s,X,s,),0,证明,设有常数,k,1,k,2,k,s,1,k,1,X,1,2,k,2,X,2,s,k,s,X,s,0,用数学归纳法,m,=1,时,X,1,0,显然成立,使,k,1,X,1,k,2,X,2,k,s,X,s,0,设,m,=,s,-1,时,X,1,X,2,X,s-,1,线性无关,现证明,m=s,时,X,1,X,2,X,s,线性无关,k,1,X,1,k,2,X,2,k,s,X,s,0,s,k,1,X,1,s,k,2,X,2,s,k,s,X,s,0,1,k,1,X,1,2,k,2,X,2,s,k,s,X,s,0,两边同乘,s,两式相减,(,s,-,1,),k,1,X,1,(,s,-,2,),k,2,X,2,(,s,-,s-,1,)k,s-,1,X,s-,1,0,所以,X,1,X,2,X,s,线性无关,由设,m,=,s,-1,时,X,1,X,2,X,s-,1,线性无关,由数学归纳法知,对任意正整数,m,结论成立,p121,例,10,设,1,和,2,是矩阵,A,的两个不同的特征值,对应的特征向量依次 为,X,1,和,X,2,证明,X,1,X,2,不是,A,的特征向量,用反证法,假设,X,1,X,2,是,A,的特征向量,则应存在数,使,A,(,X,1,X,2,),(,X,1,X,2,),于是,证明,按题设,有,A,X,1,1,X,1,A,X,2,2,X,2,故,A,(,X,1,X,2,),1,X,1,2,X,2,即,(,1,),X,1,(,2,),X,2,0,(,X,1,X,2,),A,X,1,A,X,2,1,X,1,2,X,2,因此,X,1,X,2,不是,A,的特征向量,与题设,1,2,矛盾,即,1,2,1,2,0,故由上式得,因为,X,1,X,2,线性无关,定理,6,设,1,2,m,是方阵,A,的,m,个互不同特征值,为,1,的,r,1,个线性无关特征向量,为,2,的,r,2,个线性无关特征向量,为,m,的,r,m,个线性无关特征向量,则 向量组,共,r,1,+,r,2,+,+,r,m,个,线性无关,例,3,求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1),A,的特征方程为,所以,A,的特征值为,1,2,4,，,3,2,(2),当,1,2,=4,其基础解系可取为,(3),当,3,=2,其基础解系可取为,由,定理,6,可知,X,1,，,X,2,X,3,线性无关,定理,7,设,是,n,阶,方阵,A,的一个,k,重,特征值,则,A,对应于,的线性无关的,特征,向量的最大个数为,l,则,l,k,线性无关特征向量的个数不超过特征值的重数,定理,8,设,是,n,阶,方阵,A,的,1,重,特征值,则,A,对应于,的线性无关的,特征,向量有且只有,1,个,