三简单曲线的极坐标方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,简单曲线的极坐标方程,1、圆的极坐标方程,3、,极坐标与直角坐标的互化公式,复 习,1、极坐标系的四要素,2、点与其极坐标一一对应的条件,极点；极轴；长度单位；角度单位,及它的正方向。,1、极坐标,（，2,k,+）,与,（,，）,表示同一个点,2、点 M,（,，）,关于极点的对称点为,（，+）,3、点 M,（,，）,关于极轴的对称点的为,（,，-）,4、,极坐标系内两点 的距离公式,复 习,曲线的极坐标方程,一、定义：,如果曲线上的点与方程,f(,)=0有如下关系,()曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；,()方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。,则曲线的方程是f(,)=0。,探 究,如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,。,x,（a,0）,o,。,圆经过极点,O,设圆和极轴的另,一个交点是A，那么|OA|=2a,设 为圆上除点O外，A,以外的任意一点，则OM AM,在 Rt 中,|OM|=|OA|,即,(1),等式,(1),是圆上任意一点的极坐标满足的条件,例1,求下列圆的极坐标方程,()中心在极点，半径为2；,()中心在(,a,0)，半径为,a,；,()中心在(,a,/,2)，半径为,a,；,()中心在(,0,)，半径为,r,。,2,2acos,2asin,2,+,0,2,-2,0,cos(-,)=,r,2,思考,已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？,练习1,以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是,C,你可以用极坐标方程直接来求吗？,题组练习2,（）,A、双曲线 B、椭圆,C、抛物线 D、圆,D,（）,C,O,N,M,C(4,0),*小结*,1.曲线的极坐标方程概念,2.怎样求曲线的极坐标方程,3.圆的极坐标方程,2、直线的极坐标方程,新课引入：,思考：在平面直角坐标系中,1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为,x=3,x=3,2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_,x=a,特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。,答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标,与,之间的关系，然后列出方程,(,)=0,，再化简并讨论。,怎样求曲线的极坐标方程？,例题1：求过极点，倾角为 的,射线,的极坐标方程。,o,M,x,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其,极径可以取任意的非负数。故所求,直线的极坐标方程为,新课讲授,1、求过极点，倾角为 的,射线,的极坐标方程。,易得,思考：,2、求过极点，倾角为 的,直线,的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,例题,例,1,.求过点,A（a,0）(a0),且垂,直于极轴的直线的极坐标方程。,）,0,a,A,X,M,解：设,M(，),为直线上,除,A,外的任意一点，连接,OM，在三角形MOA中,，,即,（1）,式（1）就是所求直线的极坐标方程,1、根据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,解 题 基 本 步 骤,练习1,求过点A(,a,/,2),(a0)，且平行于,极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，建立极坐标系，,设点 为直线L上除点,A外的任意一点，连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,M,o,x,A,sina,IOMI,sinAMO=IOAI,练习2,：,设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点,连接OM，,o,M,x,A,在 中有,即,显然A点也满足上方程。,例题3,设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,点P外的任意一点，连接OM,为直线上除,则 由点P的极坐标知,在,设直线L与极轴交于点A。则,由正弦定理得,显然点P的坐标也是它的解。,X,M,O,),),p,A,直线的几种极坐标方程,1、过极点,2、过某个定点垂直于极轴,4、过某个定点 ，且与极轴成的角度a,3、过某个定点平行于极轴,o,x,A,M,M,o,x,A,o,o,x,M,P,A,sin,a,例,4,.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程,(1),2x+6y-1=0,(2)x,2,-y,2,=25,解：将公式 代入,所给的直角坐标方程中，得,化简得,例题,随堂练习,A、两条相交的直线,B、两条射线,C、一条直线,D、一条射线,A,3、,(),B,(),B,(),C,小结,1.,圆的极坐标方程的概念,；,2.,如何求圆的极坐标方程,；,3.,会将直角坐标方程化为极坐标方程,;,4.,直线的极坐标方程的几种情况,:,(1),过极点,(2),过某个定点，且垂直于极轴,(4),过某个定点，且与极轴成一定,的角度,(3),过某个定点，且平行于极轴,6.,将下列直角坐标方程化成极坐标方程系,7,.,将下列极坐标方程化为直角坐标方程,随堂练习,1（2007年高考）,线 ,所围成的图形面积是（）,和,高考链接,D,2(2005年高考),在极坐标系中,以 为圆心,以 半径的圆的方程为_,教材习题答案,2.解:,1.解:,(1)表示圆心在极点，半径为5的圆；,(2),表示过极点，倾斜角为 的直线,；,(3),表示过极点，圆心在 半径为1的圆,3.解,:,4.,解：,（1）（2）,（3）（4）,把点,A,的极坐标化为直角坐标，得,化为直角坐标方程，得,在平面直角坐标系中，由点到直线的,距离公式，得点,A,到直线,的距离,所以点,A,到这条直线的距离为,5.解：以极点为直角坐标原点,极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程。,6.,解,:,(1),以椭圆中心,O,为直角坐标原点，长轴所在的直线为,X,轴建立直角坐标系,则椭圆的直角坐标方程为,将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程,得,由于 可设,则,于是,所以 为定值,(2),依题意，得到,当且仅当 时，即 或,时，有最小值,当 ，即 或 时，,有最大值,O,X,A,B,