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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它是在一般统计所进行的数据整理的基础上，用概率论的方法科学地加工、提炼、并做出判断的一门数学学科。其主要思想方法是用局部推断整体。数理统计的内容非常丰富，从本章开始，我们将逐步介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容。,第六章,样本及抽样分布,1,1随机样本,在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一项数量指标，例如，人体身高、体重、产品合格率等。为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，即选取一部分,对象,对这一数量指标进行试验或观察，,根据获得的数据来推断全部对象的这些数量指标的分布情况,。把研究对象的全体称为,总体,，而把组成总体的各个元素称为,个体,，代表总体的指标,X,是一个随机变量，所以总体就是指某个随机变量,X,可能取的值的全体.,2,总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量,X,的值，这样，一个总体对应于一个随机变量,X,。对总体的研究就是对一个随机变量,X,的研究，,X,的分布函数和数学特征就称为总体的分布函数和数学特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体,X,.,从总体中抽取若干个个体，就是对代表总体的随机变量,X,进行若干次观测，从总体中抽取若干个个体的过程称为,抽样,，抽样的结果称为,样本,，样本中所含个体的数量称为,样本容量,.,3,为了使样本在尽可能大的程度上反映总体的特性，我们对样本有基本要求，,从总体中抽取样本必须满足：,(1),随机性,为使样本具有充分的代表性，抽样必须是随机的，应使总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取到.,(2),独立性,各次抽样必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响.,4,称这种随机的、独立的抽样为,简单随机抽样,，由此得到的样本称为,简单随机样本,.若是从总体中进行放回抽样，显然就是简单随机抽样，得到的样本就是简单随机样本；若从有限总体中进行不放回抽样，虽然不是简单随机抽样，但当总体容量,N,很大而样本容量,n,较小(,n,/,N,10%)时，可近似看作放回抽样，从而可近似看作简单随机抽样，得到的样本也可近似地作为简单随机样本.以后提到的抽样与样本均是指简单随机抽样与简单随机样本.,5,总体,研究对象全体元素组成的集合,所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为,X,.,X,的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.,6.1,从总体中抽取容量为,n,的样本，就是对代表总体的随机变量,X,随机地、独立地进行,n,次观测，每次观测的结果可以看作一个随机变量，,n,次观测的结果就是,n,个随机变量,X,1,X,2,X,n,它们相互独立，并与总体,X,服从相同的分布.,6,样本, 从总体中抽取的部分个体,.,称 为总体,X,的一个容量为,n,的,样本观测值,或称样本的一个实现.,用 表示,n,为,样本,容量,.,样本空间,样本所有可能取值的集合,.,个体,组成总体的每一个元素,即总体的每个数量指标,可看作随机,变量,X,的某个取值.用 表示.,7,若总体,X,的样本 满足:,一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是,(1) 与,X,有相同的分布,(2) 相互独立,简单随机样本,N,/,n,10.,总体中个体总数,样本容量,则称 为,简单随机样本,.,8,设总体,X,的分布函数为,F,(,x,),则样本,若总体,X,的密度函数为,f,(,x,),则,样本,的联合密度函数为,的联合分布函数为,9,例如,设某批产品共有,N,个,其中的次品数为,M,其次品率为,若,p,是未知的,则可用抽样方法来估计它.,X,服从参数为,p,的,0-1分布,可用如下表示,方法:,从这批产品中任取一个产品,用随机变量,X,来描述它是否是次品:,10,设有放回地抽取一个容量为,n,的样本,的联合分布为,其样本值为,样本空间为,11,若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如,所以, 当样本容量,n,与总体中个体数目,N,相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作放回抽样.,12,设 是取自总体,X,的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量,为,统计量,.,若,是一个样本值,称,的,一个样本值,为统计量,定义,统计量,2 抽样分布,13,例,是未知参数,若, ,已知,则为统计量,是一样本,是统计量, 其中,则,但,不是统计量.,14,常用的统计量,为,样本均值,为,样本方差,为,样本标准差,设,是来自总体,X,的容量,为,n,的样本,称统计量,15,为,样本的,k,阶,原点矩,为,样本的,k,阶,中心矩,例如,16,注,样本方差 与样本二阶中心矩 的不同,故,推导,关系式,1）,17,推导,设,则,2）,18,推导,设,则,3）,19,例1,从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位:,公斤):,210, 243, 185, 240, 215,228, 196, 235, 200, 199,求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.,解,令,例1,20,则,21,例2,在总体 中,随机抽取一个容量,为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8,之间的概率.,解,故,例2,22,例3,设总体,X,的概率密度函数为,为总体的样本,求,(1),的数学期望与方差,(2),(3),解,(1),例3,23,近似,(3),由中心极限定理,(2),24,常用统计量的,分布,前面我们介绍了总体、样本及统计量的概念。由于样本是随机变量，统计量是样本的函数，从而统计量也是随机变量。统计量的分布称为,抽样分布,。一般情况下，当总体分布已知时，求统计量的分布是很困难的。然而，当总体服从正态分布时，某些统计量的分布比较容易求得。,25,(1),正态分布,则,特别地,则,若,i.i.d,.,若,26,标准正态分布的,分位数,分布的上,分位数.,正态分布的双侧,分位数.,定义,若 ，则称,z,为标准正态,若 , 则称 为标准,27,标准正态分布的,分位数图形,z,常用,数字,/2,-z,/,2,=,z,1-,/,2,/2,z,/,2,-z,/,2,28,定义 设 独立，且都服从标准正态分布，即 ，则称,服从自由度为,n,的 分布，记作：,分布,(2),n,= 2,时,其密度函数,为,为参数为1/2的指数分布.,29,一般,其中，,在,x ,0,时收敛，称为,函数，具有性质,的密度函数,为,自由度为,n,的,30,n=,2,n =,3,n =,5,n,= 10,n,= 15,31,例如,分布的性质,2,0.05,(10),n =,10,性质,性质,性质,性质,32,相互独立,证,1,设,则,33,(3),t,分布,(,Student,分布),t,分布,定义,设,则称,T,服从自由度为,n,的,T,分布.记为,X,Y,相互独立,其密度函数为,34,t,分布的图形(红色的是标准正态分布),n,=,1,n,=,20,35,t,分布的性质,1,f,n,(,t,)是偶函数,2,T,分布的上,分位数,t,与双测,分位数,t,/,2,均,有表可查.,性质,一般来说，当,n,30时，t 分布与标准正态分布就非常接近了。,36,n =,10,t,-t,37,t,/2,-t,/2,/2,/2,38,(4),F,分布,F,分布,则称,F,服从为,第一自由度,为,n,第二自由度,为,m,的,F,分布.,记为,其密度函数为,定义,X,Y,相互独立，,设,令,39,m =,10,n,= 4,m =,10,n,= 10,m =,10,n,= 15,m =,4,n,=10,m =,10,n,= 10,m =,15,n,= 10,40,F,分布的性质,例如,事实上,故,求,F,(n,m,),性质,41,例1,证明,证,例1,42,证,例2,证明：,设,令,例2,43,分别为样本均值与 样本方差，则,1.,3. 与 相互独立;,2.,定理一 设,是来自正态总体,的 一个样本，,与,正态总体的抽样分布,44,所以,证明 1.由正态分布的可加性，可知 服从正态分布，又因为,2,3的证明略。,45,证明 由定理一知,所以,又,的 一个样本，则,定理二 设,是来自正态总体,46,由于 与 相互独立，因此 与,相互独立，从而由,t,分布的定义有：,47,的两个样本，且它们相互独立，设,定理三 设,和,是分别来自正态总体,和,分别是这两个样本的样本均值；,分别是这两个样本的样本方差，则有,48,(1),(2) 当 时,其中,49,证明 (1)有定理一知,由相互独立性及,F,分布的定义可知：,50,(2) 由定理条件有,所以,又因,并且它们是相互独立的，故由 分布的可加性可知,51,从而由独立性条件及,t,分布的定义有,即,52,的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?,例3,设,为使样本均值大于70,解,设样本容量为,n, 则,故,令,得,即,所以取,例3,53,例4,从正态总体,中，抽取了,n =,20,的样本,(1),求,(2),求,解,(1),即,例4,54,故,55,(2),故,56,例5,设随机变量,X,与,Y,相互独立，,X N,(0,16),Y N,(0,9) ,X,1,X,2,X,9,与,Y,1,Y,2,Y,16,分别是取自,X,与,Y,的简单随机样本, 求,统计量,所服从的分布.,解,例5,57,从而,58,例6,设总体,的样本,为总体,X,试确定常数,c,使,cY,服从,分布.,解,故,因此,例6,59,例7,设,是来自,N,(,2,),的,简单随机样本,是样本均值,则服从自由度为,n,- 1,的,t,分布的随机变量为,例7,60,故应选 (,B,),解,61,例1,设随机变量,X,和,Y,相互独立都服从,N,(0,4,2,)，,而,X,1,X,2,X,16,和,Y,1,Y,2,Y,16,分别来自总体,X,和,Y,的样本,，,则统计量,服从,分布，参数为,。,由t分布的定义有,62,自由度参数为16。,63,64,例3 设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体,N,(,2,),的样本，则,解 因为,X,N,(,2,)，,65,66,例4 设,X,1,X,2,X,3,X,4,是来自正态总体,N,(,0,2,2,),的样本,，,X,=,a,(,X,1,-,2,X,2,),2,+,b,(3,X,3,-4,X,4,),2,则当,a,=,b,=,时，统计量X服从,2,分布，其自由度为,。,解 由题设可知，统计量,X,服从,2,分布，只有当,67,68,例6设,X,1,X,2,X,n,是来自正态总体,N,(,2,),的简单随机样本,，,其中,2,未知，则下面不是统计量的事（ ）。,解 由于统计量中不含任何未知参数，故选,(D).,69,例7 设总体,X,N,(2,4,2,),X,1,X,2,X,n,为,X,的样本,，,则下面结果正确的是（ ）,.,70,例8 设,X,1,X,2,X,n,是,X,的样本,，,X,的期望为,E,(,X,)，,且,解 需要注意的是对于有确定分布的,X,，,E,(,X,),是确定的数值；,实际上仍是一个随机变量.因而只有,(B),项是正确的.故选,(B).,71,例9 从正态总体,N,(,0.5,2,),中抽取样本,X,1,X,2,X,10,(1),已知,=0，,求概率,解（1）由,=0，则,72,(2),由题设知,由此得所求概率为,由此得所求概率为,73,74,
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