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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中。,对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。,晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。,对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。,1.6,晶体的对称性,对称性,*,对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。,*,对称操作：使晶体自身重合的动作。,*,对称素：对称操作所依赖的几何要素。如：点、线、面。,几个定义,*,点操作,对应于数学上的,正交变换（也叫线性变换）,，在点操作前后，任意两点的距离保持不变。,*,满足布拉菲格子周期性要求的变换操作，称为,平移操作,。,点阵对称操作,假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个,平移、旋转或镜反射操作,就叫一个,点阵对称操作,。,按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作,(8,种,),组合而成。,对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。,如果基本对称操作中不包括平移，则组成,32,种宏观对称类型，称为点群。,如果包括平移，就构成,230,种微观的对称性，称为空间群。,能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。,线性变换,式中,晶体的对称性,:,晶体经过某种操作后恢复原状的性质,在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离,如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换,在数学上，,等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的坐标，即,设经过某个操作，把晶格中任一点,X,变为,X,，这操作可表示为线性变换：,用矩阵表示，,(1),式可表示为：,操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：,转置运算：反序定律,为 的转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求,(1),若,A,是正交矩阵，则,|A|=,1,(2),设,A,、,B,是正交矩阵，则,AB,也是正交矩阵,(3),正交矩阵的转置矩阵仍是正交矩阵。,(4),正交矩阵是可逆矩阵，且正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。,下面介绍几种简单操作的变换关系：,即,A,为正交矩阵,正交矩阵的其它性质：,一、转动,将某,图形绕,x,1,轴转过,角,，该图形中任一点变化关系如下：,则变换关系是,取中心为原点,，经中心反演后，图形中任一点：,也就是,如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，,常用字母,i,代表,。,二、中心反演（,i,）,三、镜象（镜面）,我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保持两点距离不变的变换）,。,如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。,如以,x,3,0,作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点,变为,小猫在研究镜面操作,山和水在玩镜面操作,山和水在玩镜面操作,人和牛在玩投影,1,、不包括平移的基本对称操作,四、基本的对称操作,(a)n,度旋转对称轴,假设纸面上有一列格点，通过,A,点有一垂直于纸面的对称轴，当晶体绕其转动,后与自身重合。,在此对称操作作用下，,B,点转至,B,位置。,由于晶格的周期性,，,B,点应与,A,点等价，因此,在,B,点必须也存在一转角为,的垂直对称转轴,，而且绕此轴转动（,）角也必然是一对称操作。在此操作作用下，,A,点变至,A,点。,由几何关系得知,因而，晶体周期性必然要求,A,B,为,AB,的整数倍，因为,AB,为此方向上格点排列的周期。,但从图可见,因此,式中,m,为整数。由于 ，可得到当,m,为,1,、,0,、,1,、,2,、,3,时，,分别为,即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是,而,n,必须是,1,、,2,、,3,、,4,、和,6,，,i,为任意整数。,常将这一类转动对称轴称作,n,度旋转轴,，晶体周期性结构限制了只能存在,2,度、,3,度、,4,度和,6,度对称轴。,n=1,相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。,分别用数字,2,、,3,、,4,、,6,或符号,代表一个,n,度转轴。,例如：,（,1,）,表示方解石菱面体的,3,度转轴；,因此，,立方体有三个,4,度轴，六个,2,度轴和四个,3,度轴。,（,3,）,表示硅酸鉀晶体的,6,度及,2,度转轴。,（,2,）,表示岩盐立方体的,4,度、,3,度及,2,度转轴。对于立方体而言，对面中心的连线为,4,度轴，不在同一立方面上的平行棱边中点的连线为,2,度轴，而体对角线为,3,度轴。,(c),n,度旋转反演轴,晶体经绕轴作,n,度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则称其具有,n,度旋转反演轴对称,。,使坐标,r,变成,-r,的操作称对原点的中心反演。,经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母,i,代表。,(b),中心反演,晶体由于受周期性的制约，也只可能有,2,、,3,、,4,、与,6,度旋转反演轴，分别用数字符号,2,、,3,、,4,、,6,表示。,n,度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）,由图可见,金刚石结构或闪锌矿结构具有,4,度旋转反演轴。,等价于一条,3,次轴加上对称心，即,等价于,3,次轴加上垂直于该轴的对称面，即,就是对称心,i,，即,就是垂直于该轴的对称镜面，记为,m,，即,镜面对称：,镜面对称是晶体的一类很重要的对称性，,用,m,表示,。,具有,n,度旋转反演轴对称的晶体不一定具有,n,度转轴与中心反演这两种对称性,即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作的对称性。,但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操作的对称性。,必须注意的是：,综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即,这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到,32,种不包括平移的宏观对称类型。,这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，简称点群,。,第一章晶体结构和,X,射线衍射,对称素,对称操作（,48,）,名称,每个对称元素的操作,数目,三条,4,次轴,100,旋转,90,180,270,9,四条,3,次轴,111,旋转,120,240,8,六条,2,次轴,110,旋转,180,6,不动,1,i,对称心,以上操作加反演,24,立方对称的,48,个对称操作,称为立方点群,O,h,2,、包括平移的基本对称操作,从微观结构上看，,如按照操作后使晶体与自身重合的定义，晶体中还有,螺旋轴与滑移面,两类对称性。,在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点存在，因而它们不属于点群操作。,T,为转轴方向的晶格周期，,l,为某小于,n,的整数。晶体只能有,1,度、,2,度、,3,度、,4,度、,6,度螺旋轴。,(1)n,度螺旋轴,复合操作,:,如经绕某轴作,n,度旋转,+,再沿转轴方向平移,t,晶体与自身重合,称此复合操作为,n,度螺旋轴。,金刚石结构具有,4,度螺旋轴对称,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,0,3/4,1/4,3/4,1/4,取原胞（如图）上下底面心到该面一个棱的垂线的中点，联接这两中点的直线就是个,4,度螺旋轴；,晶体绕该轴转,90,度后，再沿该轴平移,a/4,，能自相重合。,图中分数值表示以立方体边长为单位，其各个原子处在基面上方的高度。,注意：分数值,0,和分数值,1,对应的原子位置在垂直基面的方向共线。,金刚石结构具有,4,度螺旋轴对称,(2),滑移反映面,这是,对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向平移,T/n,周期的对称操作,。（,T,是该方向上的周期矢量，,n,为,2,或,4,），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。,应当说明的是,对于宏观晶体而言：,n,度螺旋轴与,n,度旋转轴是等价的,滑移面与镜面也是等价的，,因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。,将,32,种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作,结合起来就可以导出,230,种微观空间群。,它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种特殊的晶格结构。,晶体之星,http:/www.crystalstar.org/,1.7,晶体结构的分类,我们已经知道布喇菲格子可以由,的格矢表示。,基矢,a,、,b,、,c,之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了不同的布喇菲格子的类型,。,前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相应地变动。,因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观对称性的制约。,晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有,32,种点群对称。,反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的结果是只能存在,14,种布喇菲格子（原胞）。,这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七大晶系（初基点阵心,14,）,：,一、七大晶系：,1850,年，德国科学家布喇菲（,Auguste Bravais,1811,1863,）首先证明了三维晶格只有,14,种布喇菲点阵。,四方,正交,立方,六角,单斜,三斜,三角,Crystal system,晶系,Unit cell shape,单胞几何描述,Essential symmetry,对称性（典型点群）,点群的熊夫利符号,Space lattices,空间格子,Triclinic,三斜晶系,a,b,c,a,b,g,90,C1,群：只含转角为零的旋转对称操作,P,简单三斜,Monoclinic,单斜晶系,a,b,c,a=b=90 g,90,C2,群：,b,轴是一个,2,度对称轴,P C,简单单斜、底心单斜,Orthorhombic,正交（斜方）晶系,a,b,c,a,=,b,=,g=90,D2,群：,a,b,c 3,个轴都是,2,度对称轴,P I F A(B or C),简单正交、体心正交、面心正交、底心正交,Trigonal,三角晶系,a,=,b,=,c,a,=,b,=,g,90,D3,群：,c,轴是,3,度对称轴,3,个,2,度对称轴,P,简单,Tetragonal,四方（四角）晶系,a,=,b,c,a,=,b,=,g=90,D4,群：,c,轴是,4,度对称轴,(001),4,个,2,度对称轴,P I,简单四角、体心四角,Hexagonal,六角晶系,A=b,c,a=g=90 b=120,D6,群：,c,轴是,6,度对称轴,6,个,2,度对称轴,P,简单,Cubic,立方晶系,a,=,b,=,c,a,=,b,=,g=90,O,群：拥有,3,个,4,度对称轴，,4,个,3,度对称轴及,6,个双重对称轴,P I F,简立方、体心立方、面心立方,7,个晶系（,crystal Classes,）,二、布喇菲点阵符号,P,（简单）：每单胞一个原子。格点位置：,0 0 0,I,（体心）：每单胞两个原子。格点位置：,0 0 0,，,1/2 1/2 1/2,F,（面心,),：每单胞四个原子。格点位置：,0 0 0,，,0 1/2 1/2,，,1/2 0 1/2,，,1/2 1/2 0,A,（底心,),：每单胞两个原子。格点位置：,0 0 0,，,0 1/2 1/2,B,（底心,),：每单胞两个原子。格点位置：,0 0 0,，,1/2 0 1/2,C,（底心,),：每单胞两个原子。格点位置：,0 0 0,，,1/2 1/2 0,（,Bravais lattice notation,，简写为,BLN,）：在,a
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