时间反演分立对称性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.4,时间反演分立对称性,一、牛顿力学的时间反演变换,经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图,若,x,(t),是牛顿方程的解，令,t=-t,有,x,(-t),也是牛顿方程的解,(,时间反演,:,x,x,dx/dt-dx/dt,),可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。,二、电动力学的时间反演变换,Maxwell,方程：,Lorentz,力：,对,t,-t,变换,若,则,Maxwell,方程和,Lorentz,力形式不变。,即若,上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：,t,-t,，,x,x,v,-,v(p-p),EE,j,-,j,B,-,B,三、薛定谔方程的时间反演变换,对薛定谔方程，,作时间反演：,可见,(x,-t),与,(x,t),满足不同的方程,对上式取复共轭，得：,可见对解,(x,t),，有相应解,*(x,-t),因,(x),=,，,时间反演波函数由,*,给出,四、反幺正算符,若一对称操作使 ，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征,对时间反演,波函数变为复共轭,应有,定义：对变换,如果,称,为反幺正算符,后一式所定义的算符称为反线性算符。,一般而言，,反幺正算符可写成,=UK,，,U,为幺正算符，,K,为复共轭算符,。,K,对右矢的叠加系数作用，即,若,|,不是基矢,可展开为以,|,a,为基矢的矢量,:,K,的作用效果依赖于基矢的选取（故,U,也必与基矢选取有关）,是反幺正的说明：,是反线性的,是反幺正的,五、时间反演算符,时间反演态（运动反演态）：,|,如由上面讨论知，动量本征态,|,p,的时间反演态,:,|,p,=|-,p,时间反演算符的基本性质,假设态矢具有时间反演对称性：,得：,-,i,H,=,i,H,，,应为反幺正算符,H,=,H,六、时间反演算符,的运算,仅考虑,从左边作用于右矢，和利用,及左右矢的对偶对应关系,重要等式：,这是因为对 ，有,故,对厄米算符,A,，有,若,A,-1,=,A,，称,A,在时间反演下具有偶,(,奇,),对称,由此，,可得,A,在时间反演态的期望值：,由 ，知,p,-1,=,-,p,类似地,x,-1,=,x,|,x,=|,x,从 亦可知,J,-1,=,-,J,七、厄米算符的时间反演对称性,八、波函数的变化,由,知：,对球谐函数：,可见：,定理,：若,H,在时间反演下不变，且能量本征态,非简并,，则相应波函数是实的。,证,:H,|n=,H|n=E,n,|n,|n,与,|n,相同,故,=*,注意,：时间反演态的动量空间波函数为,*,(-,p,),九、自旋,1/2,体系的时间反演,因,(,时间反演的效果,),得,由于,有,所以：,对无自旋体系,2,=1,两者很不相同！,十、一般角动量体系的时间反演,由 ，得,而,故对任意,|,:,此外，由于,不妨约定 （对自旋,1/2,体系，该约定对应于取 ）,一般地可约定：,注：相位约定依处理问题方便而定，但,2,=,1,与相位约定无关。,十一、球张量的时间反演性质,对,若,A,是 的分量，由于,Wigner-Eckart,定理,只要考虑,q=0,的分量即可。,对厄米球张量，其时间反演奇偶性由,q=0,分量确定：,；,由于,x,对应于,k=1,，且对时间反演是偶的，故对,jm,的本征态,=0,，这对非宇称本征态亦成立,十二、粒子与电和磁场的相互作用：,Kramers,简并,电荷在静电场中，,V(x)=e,(x),H,=0,由于,U(t,t,0,),0,不存在量子数的时间反演守恒。但,H,=0,导致非简并态波函数为实数,更重要的推论是,Kramers,简并。由于,|n,与,|n,同为,H,的本征态，若非简并，,|n=e,i,|n.,对,j,半整数体系，则,-|n=,|n=,e,i,|n=|n,故,|n,与,|n,不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于,E,的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不相同。,有,外,磁场时,H,含,在时间反演下是奇的,H,0,不存在,Kramers,简并,作业,4.7,、,4.8,、,4.10,