正弦量的相量表示法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3-2.正弦量的相量表示法,正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这,三要素,表示出来。,表示一个正弦量可以多种方式，这也正是分析和计算交流电路的工具。,三角函数表示法：,0,u,t,+,_,正弦波形图示法:(见右图,),相量表示法。,相量表示法,用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。,在,复数平面,建立直角坐标系OX为实轴、OY为虚轴。,设在,复平面,上一复数A(a,b).,在直角坐标系上可表示为.,jy,x,0,A,a,b,A=a+jb,用极坐标系则表示为.,A=r,/,变换关系为：,或：,代入后，可得,jy,x,0,A,a,b,A=r(cos,+j sin,),考虑欧拉公式：,可改写为：,A=r e,j,也可简记为：,A=r,由此可得到,复数的三种表示法,，即,直,角坐标式,、,指数式,及,极坐标式,，,三者可以互换。,其中,直角坐标式,便于进行,加减,运算,、,指数式,及,极坐标式,便于进行,乘除,运算。,现令有向线段OA绕原点,O,以角速度,作逆时针旋转，可得A点在纵轴上的投影坐标为,y,=|OA|sin,(,t,+,),jy,x,0,A,比较正弦电压,u,=,U,m,sin,(,t,+,),y,A点的轨迹,在复平面上的位置用复数可表示为：,A=,r,cos(,t,+,),+j sin(,t,+,),=,r,e,j(,t,+,),=,r,/,t,+,可改写为,A=,r,e,j,e,j,t,其中,A=,r,e,j,相当于初始值。,与前面讨论的复数表示法一致。,通过上面讨论可知,复数量,jy,x,0,A,动点A(复数)坐标的为,A(t)=,r,cos(,t,+,),+j,r,sin(,t,+,),=,r,e,j(,t,+,),=,r,/,t,+,u,=,U,m,sin(,t,+,),正弦量,至此，定义用复平面上的,静止,量(复数)表示正弦量，记为,或,(幅值电压,相量,),(有效值电压,相量,),A=r(cos,+j sin,),A=r e,j,幅值相量与瞬时值之间的关系,旋转相量：,A=,r,cos(,t,+,),+j,r,sin(,t,+,),=,r,e,j(,t,+,),=,r,t,+,相量,(,复数,),：,A=r(cos,+jsin,),=r e,j,交流电瞬时值：,u,=,U,m,sin(,t,+,),将,相量,(,r e,j,),乘上一个时间因子,(,e,j,t,),，,得到复数圆的轨迹，对其取,虚部,的结果就是,正弦量的瞬时值,。,虚单位 j 的数学意义和物理意义,j=e,j90,jj=j,2,=e,j90,e,j90,=e,j180,=,1,o,x,jy,j,j,2,1,j,j,3,j,4,1,同理,及,由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度为90的旋转因子。,乘以 j 是向正方向旋转90；除以 j 是向负方向旋转90。,即,例题 3-3,试写出表示u,A,=220,2 sin314t V,的相量，并画出相量图。,解,分别用有效值相量,u,B,=220,2 sin(314t120)V,u,C,=220,2 sin(314t+120)V,表示u,A,、u,B,和u,C,则,它们的相量图为：(右图),120,120,例3-4,对如图电路，设,试求总电流,i。,解,i,i,1,i,2,本题可用几种方法求解计算。,1.用三角函数式求解,两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为,i,i,1,i,2,则,因此，总电流,i,的幅值为,总电流,i,的初相位为,由此，代入数据I,m1,=100A,I,m2,=60A,1,=45,2,=30,则,故得,2.用正弦波求解,100sin(,t+45,),60sin(,t30,),129sin(,t18.3,),0,i,t,2.用相量图求解,30,45,18.3,