标准正态分布的密度函数

*,一、标准正态分布的密度函数,二、标准正态分布的概率计算,三、一般正态分布的密度函数,正态分布,第七节,第二章,四、正态分布的概率计算,1,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，,一定服从或近似服从正态分布,许多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的,近似分布,以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布,之一，,大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的,可以证明，,如果一个随机指标受到诸多因素的影响,但其中任何一个因素都不起决定性作用，,则该随机指标,正态分布有许多良好的性质，,这些性质是其它,这可以由,2,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,定义,若连续型随机变量,X,的密度函数为,则称,X,服从标准正态分布，,记为,标准正态分布是一种特别重要的,它的密度函数经常被使用，,所以用专门的符号,来表示。,分布。,一、标准正态分布的密度函数,x,0,3,密度函数的验证,则有,（2）根据反常积分的运算有,可以推出,4,若随机变量,则密度函数的性质为：,x,0,标准正态分布的密度函数的性质,，,X,的密度函数为,的图像称为标准正态（高斯）曲线。,5,随机变量,由于,由图像可知，阴影面积为概率值。,对同一长度的区间,，若这区间越靠近,x,0,其对应的曲边梯形面积越大。,标准正态分布的分布规律时“中间多，两头少”.,6,二、标准正态分布的概率计算,分布函数为,1、分布函数,x,0,x,7,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，,2、标准正态分布表,表中给的是,x,0,时,(,x,),的值.,可以解决标准正态分布的概率计算.,x,0,x,8,x,0,x,-x,令,则,如果,由公式得,9,例1,解,10,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，,X,的取值几乎全部集中在-3,3区间内,，,当,X,N,(0,1),时，,3,准则,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,11,三、一般,正态分布的密度函数,0,作正态(,高斯）曲线.,所确定的曲线叫,如果连续型随机变量,X,的密度函数为,（其中,为参数）,则随机变量X服从参数为,的正态分布，记为,12,一般正态分布密度函数的图形性质,x,p,(,x,),0,13,x,p,(,x,),0,(4),14,称为,位置参数。,(5)若,固定，而改变,的值，,15,决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布由它的两个参数,和,称为,形状参数,。,当,和,不同时，,惟一确定，,是不同的正态分布.,(6)若,固定，而改变,的值，,16,时的,可以认为，,X,的取值几乎全部集中在,的区间内。,这在统计学上称为,准则”,3,准则,0,17,设,X,的分布函数是,四、正态分布的概率计算,18,它的依据是下面的引理：,正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则,设,引理,任何一个一般的,根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，,标准正态分布的重要性在于，,19,一般正态分布的计算,设,若,20,解,例3,21,例3,解,22,已知,求,解,例4,23,例5,某地区18至22岁的男子身高为,X,从该地区 1、随机地抽查一青年男子的身高，,他身高超过168,cm,的概率为多少。,2、若抽查10个青年男子测其身高恰有,k,（0,k,10)个,人的身高高于168cm 的概率为多少？,解,1、,2、设该地区身高高于168cm的人数为,X.,24,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高,X,N,(170,6,2,),问车门高度应如何确定?,解:,设车门高度为,h,cm,按设计要求,或,因为,X,N,(170,6,2,),0.99,(2.33)=0.99010.99,即 设计车门高度为184厘米时，,可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,故,查表得,例6,25,例7,解,26,一种电子元件的使用寿命,（小时）服从正态分布,(100,15,2,),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解,:,设,Y,为使用的最初90小时内,损坏,的元件数,故,则,其中,例8,27,例9,设某工程队完成某项工程所需时间为,X,(天)近似,服从参数为,的正态分布。,奖金办法规定：,若在100天内完成，则得超产奖 10000元；,若在100天至115天内完成，则得超产奖 1000元；,若完成时间超过115天，则罚款 5000元。,求该工程队在完成这项工程时，,奖金额,Y,的分布列。,解,依题意,可见Y是X的函数，,且是离散型随机变量。,28,则,Y,的分布列,29,0,查表可知,30,作业,P142 16 17 18 19 20,31,正态分布,在处理实际问题时常常遇到这样一种随机变量，,对它进行大量重复的观察，,得到一组数据。,这组数据,虽然有波动，,但总是以某个常数为中心。,偏离中心,偏离中心越远的数据越少。,取值呈,且取值具有对称性。,如：人体身高、智力、学习成绩、电器寿命等。,产生这种现象的原因是受多因素的影响，,而每一种因,素在正常情况下都是相互独立的，,且它们的影响是均匀,的、微小的。,所以人体身高、智力、成绩、寿命为随机,变量是一个服从正态分布的随机变量。,这种随机变量的,密度曲线是单峰的，,且有左右对称的形状。,越近的数据越多；,“中间大、两头小”的格局，,32,