《正弦、余弦函数的图象》课件

正弦函数、余弦函数的图象,三角函数,三角函数线,正弦函数,余弦函数,正切函数,正切线,AT,1.4.1,正弦函数、余弦函数的图象,y,x,x,O,-1,x,P,M,A(1,0),T,sin,x,=MP,cos,x,=OM,tan,x,=AT,注意：,三角函数线是,有向线段,！,正弦线,MP,余弦线,OM,复习回顾,y,=sin,x x,0,2,的图象的几何作法,O,1,O,y,x,-1,1,描图：用光滑曲线,将这些正弦线的,终点,连结起来,A,B,作法,：,（,1,）等分,（,2,）作正弦线,（,3,）平移,（,4,）连线,新课讲授,如何作出,y,=sin,x,，,x,R,的图象？,因为终边相同的角有相同的三角函数值，即,sin(,x,+2k)=,sin,x,，,kz,所以函数,y,=,sin,x,，,x,2k,，,2(k+1),），,kz,且,k0,的图象与函数,y,=,sin,x,，,x,0,2,）的图象的形状完全一致，我们只要将函数,y,=sin,x,，,x,0,2,）的图象向左，向右平行移动（每次,2,个单位长度），就可以得到正弦函数,y,=,sin,x,，,x,R,的图象，即正弦曲线。,x,6,y,o,-,-1,2,3,4,5,-2,-3,-4,1,正弦曲线,探究：,你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数,y,=,cos,x,的图象吗？,提示：,由诱导公式六，我们有,y,=,cos,x,= sin(,+ x,),，,x,R,，即,y,=,cos,x,的图象就是,y = sin( +,x,),的图象，那么,y,= sin,x,与,y = sin( +,x,),的图象又有什么区别？,x,6,y,o,-,-1,2,3,4,5,-2,-3,-4,1,余弦函数,的图象,正弦函数,的图象,x,6,y,o,-,-1,2,3,4,5,-2,-3,-4,1,y,=,cos,x,=,sin(,x,+ ),x,R,余弦曲线,正弦曲线,形状完全一样只是位置不同,正弦曲线、余弦曲线的特征：,（,1,）图象为光滑的曲线，形如横“,S,”型的连接,（,2,）图象每隔,2,都会重复出现,（,3,）图象是夹在,y,= 1,与,y,= -1,之间的曲线,y,x,o,1,-1,在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？,(,0,0,),( ,1,),(,0,),( ,-1,),(,2,0,),五点画图法,简图作法：,（,1,）列表（列出对图象形状起关键作用的五点坐标）,（,2,）描点（定出五个关键点）,（,3,）连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）,y,x,o,1,-1,找出余弦函数,y,=,cos,x,，,x,【0,，,2】,图象的五个关键点？,(,0,1,),( ,0,),(,-1,),( ,0,),(,2,1,),五点法,(,0,1,),( ,0,),(,-1,),( ,0,),(,2,1,),探究：,例,1,画出函数,y,=1+sin,x,，,x,0, 2,的简图：,x,sin,x,1+sin,x,0, 2,0,1,0,-1,0,1,o,1,y,x,-1,2,y,=,sin,x,，,x,0, 2,y,=1+sin,x,，,x,0, 2,步骤：,1.,列表,2.,描点,3.,连线,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,1,2,1,0,练习,1,：画出,y,=1-sin,x,，,x,0,，,2,的简图,x,sin,x,1-sin,x,0, 2,0,1,0,-1,0,1 0 1 2 1,o,1,y,x,-1,2,y,=,sin,x,，,x,0, 2,y,=1-sin,x,，,x,0, 2,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,例,2,画出函数,y,=,-,cos,x,，,x,0, 2,的简图：,x,cos,x,-,cos,x,0, 2,1,0,-1,0,1,-1,y,x,o,1,-1,y,= -,cos,x,，,x,0, 2,y,=,cos,x,，,x,0, 2,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,-1,0,1,0,x,sinx,0, 2,1,0,-1,0,1,练习,2,：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数,y,=,sin,x,，,x,0, 2,和,y,=,cos,x,，,x, , ,的简图：,o,1,y,x,-1,2,y,=,sin,x,，,x,0, 2,y,=,cos,x,，,x, , ,向左平移 个单位长度,x,cos,x,1,0,0,-1,0,0,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑曲线连接起来：,小,结,1.,正弦曲线、余弦曲线,几何画法,五点法,2.,注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系,y,x,o,1,-1,y,=,sin,x,，,x,0, 2,y,=,cos,x,，,x,0, 2,作业：课本,46,页，第,1,题,1.4,正弦余弦函数的性质,(1),周期性,举例：,生活中,“,周而复始,”,的变化规律。,日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替,问题：,三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律？,公式,(,一,),诱导公式,sin(x+2,) =,sinx,的几何意义,x,y,o,X,X+2,X,X+2,正弦函数值是按照一定规律,不断重复地,出现的,能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？,正弦曲线,x,y,o,1,-1,-2,-,2,3,4,-2,-,o,2,3,x,-1,1,y,余弦曲线,如何用数学语言刻画周期性,对于函数 ，如果存在一个,非零常,数,，使得当 取定义域内的,每一,个值,时，都有 ，,那么函数 就叫做,周期函数,，,非零常数,叫做这个函数的,周期,。,1、周期的定义,正弦函数和余弦函数的周期都是,2k,1,sin,x,，,cos,x,的周期是,2,4,6,-,2,-4,-6,2,k,.,2,如果,T,是函数,f,(,x,),的周期，那么,2,T, 3,T,kT,也是函数,f(x,),的周期,.,3 ,对周期函数定义中的“定义域中的,每一个值,x,”,的要求，而不是某一个值,.,思考：一个周期函数的周期有多少个？,练习：,判断下列说法是否正确,（1,） 时， 则,一定不是 的周期,（ ）,（2,） 时， 则,一定是 的周期,（ ）,2、最小正周期的定义,对于一个周期函数 如果在它所,有的周期中存在一个,最小的正数,，,那么这个最小的正数就叫做 的,最小正周期,。,说明：,我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的,最小正周期,；,例 求下列函数的周期：,(1)y=3cos,x,x,R,;,(2)y=sin2,x,x,R,;,解,:,(1),是以,2,为周期的周期函数,.,这里的周期指的是,最小正周期,!,的周期为,.,(3),的周期为,例 求下列函数的周期：,(2)y=sin2x,x,R;,(1)y=3cosx,x,R;,解,:,(2),若 则,归纳总结,一般地，函数 及 （其中 为常数，且 ）的周期是,(,1),求下列函数的最小正周期,练习：,P36,练习,1, 2,1.周期函数、最小正周期的定义,；,小结：,和,型函数的周期的求法。,函数,y,= tan,x,是周期函数吗？,如果是，那么它的最小正周期是多少？,课后思考,正弦函数、余弦函数的性质（二）,y,= sin,x,(,x,R,),y,=,cos,x,(,x,R,),定义域,周期性,R,T,= 2,复习引入,:,正弦、余弦函数的图象,-1,y,1,x,o,-1,y,1,x,o,-1,y,1,x,o,y,= sin,x,(,x,R,),由诱导公式,sin,(,-,x,)=,正弦,曲线关于坐标原点,O,对称,奇偶性,正弦,函数,y,=,sin,x,，（,x,R,）是奇函数,-,sin,x,，,-1,y,1,x,o,y,= sin,x,(,x,R,),奇偶性,由诱导公式,cos,(,-,x,)=,余弦,曲线关于,y,轴对称,y,=,cos,x,(,x,R),-1,y,1,x,o,余,弦,函数,y,=,cos,x,，（,x,R,）是偶函数,cos,x ,y,= sin,x,(,x,R,),-1,y,1,x,o,-1,y,1,x,o,y,= sin,x,(,x,R,),y,0,x,1,-1,单调性,x,sin,x, 0 ,-1,0,1,0,-1,正弦函数,y,= sin,x,在区间 上是增函数，在区间,上是减函数,单调性,正弦函数,在每一个闭区间 上都是增函数，其值从,-1,增大到,1,；,-1,y,1,x,o,y,= sin,x,(,x,R,),在每一个闭区间 上都是减函数，其值从,1,减小到,-1,-1,y,1,x,o,x,cos,x,-, 0 ,-1,0,1,0,-1,y,=,cos,x,(,x,R,),-1,y,1,x,o,单调性,y,0,x,1,-1,余弦函数,在区间上 是增函数，在区间上 是减函数,y,=,cos,x,(,x,R),-1,y,1,x,o,单调性,余弦函数在每一个闭区间,上都是增函数，其值从,-1,增大到,1,；,在每一个闭区间,上都是减函数，其值从,1,减小到,-1,例,1.,利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：,解,：（,1,）因为,正弦函数 在区间,上是增函数，所以,例题,解：,即,因为 ，且函数 是减函数，,所以,例题,练习,1,利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：,答案：,正弦函数当且仅当,时取得最大值,1,，,当且仅当,时取得最小值,-1,；,y,= sin,x,(,x,R,),-1,y,1,x,o,最大值与最小值,余弦函数当且仅当,时取得最大值,1,，,当且仅当,时取得最小值,-1,最大值与最小值,-1,y,1,x,o,y,=,cos,x,(,x,R,),例,2.,下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量,x,的集合，并说出最大、最小值分别是什么,.,解：,这两个函数都有最大值、最小值,.,（,1,）使函数 取得最大值的,x,的集合，就是使函数 取得最大值的,x,的集合,使函数 取得最小值的,x,的集合，就是使函数 取得最小值的,x,的集合,函数 的最大值是,1+1=2,；最小值是,-,1+1=0.,例题,解：,因此使函数 取最大值的,x,的集合是,同理，使函数 取最小值的,x,的集合是,函数 取最大值是,3,，最小值是,-,3.,令,z,=2,x,，使函数 取最大值的,z,的集合是,由,得,例题,对于形如 的,函数，一般通过变量代换（如设 ）化归为 的形式，然后求解,方法总结：,练习,求使下列函数取得最大值、最小值的自变量,x,的集合，并写出最大值、最小值各是多少,（,1,）,y,= 2sin,x,，,x,R,答案,：,(1,）,当 时，函数取得最大值,2.,当 时，函数取得最小值,-2.,（,2,）当 时，函数取得最大值,3.,当 时，函数取得最小值,1.,例,3.,求函数 的单调递增区间,.,解：令,函数,y,= sin,z,的单调递增区间是,由,得,设,例题,易知,所以函数,的单调递增区间是,求函数,的单调递减区间,练习,3,答案：,求函数,的单调递增区间,.,思考,课堂小结：,-1,y,1,x,o,-1,y,1,x,o,y,=,cos,x,(,x,R),y,= sin,x,(,x,R,),奇偶性,正弦函数是奇函数,.,正弦函数是奇函数,.,余弦函数是偶函数,.,单调性,正弦函数,在每一个闭区间 上都是增函数，其值从,-1,增大到,1,；,在每一个闭区间 上都是减函数，其值从,1,减小到,-1,余弦函数在每一个闭区间,上都是增函数，其值从,-1,增大到,1,；,在每一个闭区间,上都是减函数，其值从,1,减小到,-1,最大值与最小值,正弦函数当且仅当,时取得最大值,1,，,当且仅当,时取得最小值,-1,；,余弦函数当且仅当,时取得最大值,1,，,当且仅当,时取得最小值,-1,