第13章拉氏变换

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,13章 拉普拉斯变换,13.9 卷积定理,13.1 拉普拉斯变换,13.2 常用函数的拉普拉斯变换,13.3 拉普拉斯变换的基本性质,13.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,13.6 拉普拉斯变换法分析电路,13.7 网络函数,13.8 网络函数的极点和零点,13.4 拉普拉斯反变换,本章重点,本章重点,.,常用函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的基本性质,.,复频域中的电路定律,.,运算阻抗和运算导纳,.,拉普拉斯变换法分析电路的动态响应,.,网络函数,.,返回目录,13,.,1 拉普拉斯变换,一、拉氏变换(,Laplace transformation),的定义,象函数(,transform function),F,(,s,),原函数(,original function),f,(,t,),t,0,),时域(,time domain),复频域(,complex frequency domain),复频,率(,complex frequency),拉氏变换对,(,Laplace pairs),一 一对应,记号,L,f,(,t,),表示,取拉氏变换,L,-,1,F,(,s,),表示,取拉氏反变换,定义式,(Laplace transformation),(inverse Laplace transformation),积分下限从0,开始，称为0,拉氏变换。,积分下限从0,+,开始，称为0,+,拉氏变换。,当,f,(,t,),含有冲激函数项时，,此项 0,0,+,拉氏变换和,0,拉氏变换的区别,象函数,F,(s),用大写字母表示，如,I,(s)，,U,(s),原函数,f,(,t,),用小写字母表示，如,i,(,t,)，,u,(,t,),注意,为了把0,-,0,+,时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变,换定义式中积分下限从,0,-,开始,二、拉氏变换存在条件,不同的,f,(,t,)，,0,的值不同，称,0,为复平面,s,内的收敛横坐标。,0,j,0,收敛坐标,收敛轴,收敛区,电工中常见信号为指数阶函数，即,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论,中一般不再写出其收敛范围。,返回目录,=1,13,.,2 常用函数的拉普拉斯变换,1,f,1,(,t,),e,-,t,t,0,求图示两个函数的拉氏变换式,1,f,2,(,t,),e,-,t,t,0,解,由于定义的拉氏变换积分下限是0,，两个函数的拉氏变换,式相同,当取上式的反变换时，只能表示出,区间的函数式,返回目录,13.3,拉普拉斯变换的基本性质,一、线性(,linearity),性质,例1,例2,例3,二、原函数的微分(,differentiation),例1,例2,三、原函数的积分(,integration),例,四、时域平移(,time shift),f,(,t),(,t,-,t,0,),t,t,0,0,t,f,(,t-t,0,),(,t,-,t,0,),t,0,0,f,(,t,),(,t,),t,0,f,(,t,),(,t,),f,(,t-t,0,),(,t,-,t,0,),平移,f,(,t),(,t,-,t,0,),不是平移,例,1 求图示函数的拉氏变换式,例2 求图示函数的拉氏变换式,1,T,t,f(t,),0,T,T,f,(,t,),0,例,3,周期函数(,periodic function),的拉氏变换,设,f,1,(,t,),为第一个周期的函数,.,t,f,(,t,),1,T,/2,T,0,五、复频域平移(,frequency shift),六、初值(,initial-value),定理和终值(,final-value),定理,初值定理,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,)，,且,f,(,t,),在,t,=0,处无冲激，则,终值定理,f,(,t,),及其导数,f,(,t,),可进行拉氏变换，且,例1,例2,例3,例1,例2,例3,返回目录,13.4 拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,(,1)利用公式,(,2)经数学处理后查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二、将,F,(,s,),进行部分分式展开(,partial-fraction expansion),f,(,t,)=L,-1,F,(,s,),较,麻烦,等式两边同乘(,s,-,s,1,),=0,k,i,也可用,分解定理,求,等式两边同乘(,s,-,s,i,),，应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,m,n,，,用长除法，得,k,1,k,2,也是一对共轭复数,假设只有两个根,可据前面介绍的两种方法求出,k,1,k,2,设,例,法一：,部分分式展开，求系数,法二：,将,F,2,(s),改写为(,s,),2,+,2,等式两边乘,例1,例2,等式两边乘,一般多重根情况,返回目录,一、电路元件的运算形式(,operator form),电阻,R,u=R i,13.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,+,u,-,i,(,t,),R,+,U,(,s,),-,I,(,s,),R,取拉氏变换,电感,L,i,L,+,u,L,-,L,+,-,sL,U,L,(,s,),I,L,(,s,),-,+,取拉氏变换,sL,+,-,U,L,(,s,),I,L,(,s,),电容,C,+,u,C,-,i,C,I,C,(,s,),1,/,s,C,u,C,(0,-,),/s,U,C,(,s,),+,-,-,+,1,/,sC,Cu,C,(0,-,),I,C,(,s,),U,C,(,s,),-,+,取拉氏,变换,互感,M,取拉氏,变换,M,L,1,L,2,i,1,i,2,+,u,1,-,+,u,2,-,+,U,2,(,s,),-,+,-,I,1,(,s,),sL,1,sL,2,sM,+,-,+,+,-,-,U,1,(,s,),I,2,(,s,),+,-,受控源,+,-,U,1,(,s,),+,-,R,I,1,(,s,),U,1,(,s,),+,-,U,2,(,s,),+,u,1,-,+,u,2,-,R,i,1,u,1,+,-,二、电路定律的运算形式,+,u,-,i,R,L,C,设电路无初始储能,+,U,(,s,),-,I,(,s,),R,sL,1,/,sC,运算形式的欧姆定律,运算阻抗,(operational impedance),运算导纳,(operational admittance,三、运算电路模型,1.电压、电流用象函数形式,2.元件用运算阻抗或运算导纳,3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示,时域电路,R,R,L,C,i,1,i,2,E,(,t,),+,-,运算电路,R,R,sL,1,/,sC,I,1,(,s,),I,2,(,s,),E,/s,+,-,u,C,(0,-,)=25V,i,L,(0,-,)=5A,时域电路,t,=0,时打开开关,例,5,2F,20,10,10,0.5,H,50,V,+,-,u,C,+,-,i,L,换路后,运算电路,0.5,s,U,C,(,s,),20,-,+,+,1/2,s,25/,s,2.5,5,I,L,(,s,),+,-,-,解,返回目录,13.6 拉普拉斯变换法分析电路,步骤,1.由换路前电路计算,u,C,(0,-,),i,L,(0,-,)；,2.,画运算电路模型；,3.应用电路分析方法求出待求变量的象函数；,4.反变换求原函数。,t,=0,时闭合,S，,求,i,L,，,u,L,。,例,1,200,V,30,0.1,H,10,-,u,C,+,1000,F,i,L,+,-,u,L,+,-,S,(,2)画运算电路,200/,s,30,0.1,s,0.5,10,1000/,s,100/,s,I,1,(,s,),I,2,(,s,),+,+,+,-,-,-,解,200/,s,30,0.1,s,0.5,10,1000/,s,100/,s,I,1,(,s,),I,2,(,s,),+,+,+,-,-,-,(,4)反变换求原函数,校核初值和终值,要考虑初值,思考：,u,L,是哪两端,的电压？,200/,s,30,0.1,s,0.5,10,1000/,s,100/,s,I,1,(,s,),I,2,(,s,),+,+,+,-,-,-,U,L,(,s,),+,-,例,2,求图示电路的单位冲激响应,u,C,(,t,)，,i,C,(,t,),。,R,C,u,C,(,t,),i,C,+,-,R,1,/,sC,U,C,(,s,),1,I,C,(,s,),+,-,t,u,C,(V),0,t,i,C,返回目录,13.7,网络函数(,network function),一、定义,单个独立源作用的线性网络,零,状,态,e(t,),r,(,t,),E(s,),R(s,),(,转移函数(,transfer function),R,C,+,_,+,_,u,S,例,u,C,R,1,/,sC,+,_,+,_,U,S,(,s,),U,C,(,s,),网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；,网络函数是实系数的有理函数。,1.策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,2.转移函数(传递函数),转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,二、网络函数的具体形式,U,(,s,),I,(,s,),+,-,U,2,(,s,),I,2,(,s,),U,1,(,s,),I,1,(,s,),+,-,+,-,三、单位冲激响应与网络函数的关系,零状态,(,t,),h,(,t,),e,(,t,),r,(,t,),若单位冲激响应,h,(,t,),已知，则任意激励,e,(,t,),产生的响应,r,(,t,),可求。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对,返回目录,13.8 网络函数的极点(,pole),和零点(,zero),一、复频率平面,j,在复平面上用“,”表示,极点,，,用“,。,”表示零点。,极点,。,零点,j,。,2,-,3,例,绘出其极零点图,(,pole-zero diagram),-,1,j,-,j,0,二、极点分布与冲激响应的关系,H,(,s,),在,s,平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对,j,极点的位置决定冲激响应的波形,极点和零点共同决定冲激响应的的幅值,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(,stability),全部极点在,s,左半平面的电路动态响应是稳定的；,有位于,s,右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点,在,s,平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界,稳定的。,网络函数极点是该网络变量的固有频率,R,(,s,)=,H,(,s,),E,(,s,),设,D,(,s,),和,E,(,s,),没有,相同的极点,由网络函数极点形成的,自由分量,由激励函数极点形成的,强制分量,系数,A,i,和,A,j,是由零点和极点共同决定,返回目录,13.9 卷积(,convolution),定理,h,(,t,),r,(,t,),e,(,t,),H,(,s,),R,(,s,),E,(,s,),R,(,s,)=,E,(,s,),H,(,s,),零状态,证明,延时,去掉,积分上限改为,t,例,已知某电路的单位冲激响应,h,(,t,)=2e,-,t,(,t,),，,求该电路,在激励为,e,(,t,)=5e,-,2,t,V,作用下的响应,r,(,t,)。,解,由单位冲激响应得网络函数,H,(,s,)=2/(,s,+1),由卷积定理，得,响应,r,(,t,)=10(e,-,t,-,e,-,2,t,)V,t,0,返回目录,