函数的最大值和最小值的求解方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2 函数的单调性与最大(小)值,要点梳理,1.函数的单调性,（1）单调函数的定义,增函数,减函数,定义,一般地，设函数,f,（,x,）的定义域为,I,.如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量,x,1,，,x,2,基础知识 自主学习,定义,当,x,1,x,2,时,都有,，那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是增函数,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,（,x,）在区间,D,上是减函数,图象描述,自左向右看图象是,_,自左向右看图象是,_,f,（,x,1,）,f,(,x,2,),上升的,下降的,(2)单调区间的定义,若函数,f,(,x,)在区间,D,上是_或_，则称,函数,f,（,x,）在这一区间上具有（严格的）单调性，,_叫做,f,（,x,）的单调区间.,增函数,减函数,区间,D,2.函数的最值,前提,设函数,y,=,f,(,x,)的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足,条件,对于任意,x,I,，都有_；存在,x,0,I,使得,_.,对于任意,x,I,，都有_；,存在,x,0,I,使得,_.,结论,M,为最大值,M,为最小值,f,（,x,）,M,f,（,x,0,）=,M,f,（,x,）,M,f,（,x,0,）=,M,基础自测,1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是,(),A.,y,=-,x,+1 B.,y,=,C.,y,=,x,2,-4,x,+5 D.,解析,y,=-,x,+1,y,=,x,2,-4,x,+5,分别为一次函,数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可,以看出在（0，2）上都是减函数.,B,2.已知函数,y,=,f,(,x,)是定义在,R,上的增函数,则,f,(,x,)=0的,根 （）,A.有且只有一个 B.有2个,C.至多有一个 D.以上均不对,解析,f,（,x,）在,R,上是增函数，,对任意,x,1,x,2,R,若,x,1,x,2,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),反之亦成立.故若存在,f,(,x,0,)=0,则,x,0,只有一个.,若对任意,x,R,都无,f,(,x,)=0,则,f,(,x,)=0无根.,C,3.已知,f,(,x,)为,R,上的减函数，则满足,的实数,x,的取值范围是 （）,A.(-1,1),B.(0,1),C.(-1,0)(0,1),D.（-,-1)(1,+),解析,由已知条件：,不等式等价于,解得-1,x,1,且,x,0.,C,4.函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在（-，+）上是减函数，则,(),A.B.,C.D.,解析,使,y,=(2,k,+1),x,+,b,在（-，+）上是减函数,则2,k,+10；,(,x,1,-,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0；,其中能推出函数,y,=,f,(,x,)为增函数的命题为_.,解析,依据增函数的定义可知，对于，当自变,量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推,出函数,y,=,f,（,x,）为增函数.,题型一 函数单调性的判断,【,例1,】,已知函数,证明：函数,f,(,x,)在(-1,+)上为增函数.,（1）用函数单调性的定义.,（2）用导数法.,证明,方法一,任取,x,1,x,2,(-1,+),不妨设,x,1,0,思维启迪,题型分类 深度剖析,又,x,1,+10,x,2,+10,于是,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,故函数,f,(,x,)在（-1,+）上为增函数.,方法二,求导数得,a,1,当,x,-1时，,a,x,ln,a,0,f,(,x,)0在（-1，+）上恒成立，,则,f,(,x,)在（-1,+）上为增函数.,对于给出具体解析式的函数，判断或证明,其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步,骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函,数则可以利用导数解之.,探究提高,知能迁移1,试讨论函数,x,(-1,1)的单,调性（其中,a,0）.,解,方法一,根据单调性的定义求解.,设-1,x,1,x,2,1,-1,x,1,x,2,1,|,x,1,|1,|,x,2,|0,即-1,x,1,x,2,0.,因此，当,a,0时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),此时函数为减函数；,当,a,0时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,)0时，-1,x,1,即,f,(,x,)0,此时,f,（,x,)在（-1，1）上为减函数.,同理，当,a,0时，,f,（,x,)在（-1，1）上为减函数；,a,0,得,x,3,结合二次函数的,对称轴直线,x,=1知,在对称轴左边函数,y,=,x,2,-,2,x,-3是,减函数，所以在区间（-，-1）上是减函数,由,此可得D项符合.故选D.,思维启迪,D,（1）复合函数是指由若干个函数复合而,成的函数，它的单调性与构成它的函数,u,=,g,(,x,),y,=,f,(,u,),的单调性密切相关，其单调性的规律为,“,同增异减,”,，,即,f,(,u,)与,g,(,x,)有相同的单调性，则,f,g,(,x,)必为增函,数，若具有不同的单调性，则,f,g,(,x,)必为减函数.,（2）讨论复合函数单调性的步骤是：,求出复合函数的定义域；,把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其,单调性；,把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；,根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.,探究提高,知能迁移2,函数,y,=的递减区间为,（）,A.(1,+)B.,C.D.,解析,作出,t,=2,x,2,-3,x,+1的示意,图如图所示，,0 0恒成立，试求实,数,a,的取值范围.,第(1)问可先证明函数,f,(,x,),在1,+),上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第,(2)问可采用转化为求函数,f,(,x,)在1,+)上的最小,值大于0的问题来解决.,思维启迪,解,设1,x,1,x,2,则,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,1,x,1,0,2,x,1,x,2,2,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)0,f,(,x,1,)0恒成立,x,2,+2,x,+,a,0恒成立.,设,y,=,x,2,+2,x,+,a,x,1,+),则函数,y,=,x,2,+2,x,+,a,=(,x,+1),2,+,a,-1在区间1,+)上是,增函数.,当,x,=1时，,y,min,=3+,a,于是当且仅当,y,min,=3+,a,0时,函数,f,(,x,)0恒成立，,故,a,-3.,要注意函数思想在求函数值域中的运,用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函,数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分,离参数法，要使,x,2,+2,x,+,a,0在1,+)上恒成立,只要,a,-,x,2,-2,x,=-(,x,+1),2,+1恒成立，由二次函数,的性质得-(,x,+1),2,+1-3,所以只要,a,-3即可.,探究提高,知能迁移3,已知函数 (,a,0,x,0),(1)求证:,f,(,x,)在(0,+)上是单调递增函数;,(2)若,f,(,x,)在 上的值域是 求,a,的值.,(1),证明,设,x,2,x,1,0,则,x,2,-,x,1,0,x,1,x,2,0,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,)在(0,+)上是单调递增的.,题型四 函数单调性与不等式,【,例4,】,(12分)函数,f,(,x,)对任意的,a,、,b,R,都有,f,(,a,+,b,),=,f,(,a,)+,f,(,b,)-1,并且当,x,0时，,f,(,x,)1.,（1）求证：,f,(,x,)是,R,上的增函数；,（2）若,f,(4)=5,解不等式,f,(3,m,2,-,m,-2)3.,问题(1)是抽象函数单调性的证明,所,以要用单调性的定义.,问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号,“,f,”,运,用单调性,“,去掉,”,为此需将右边常数3看成某个,变量的函数值.,思维启迪,解,（1）设,x,1,x,2,R,，且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,)1.2分,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,x,1,)-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)+,f,(,x,1,)-1-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)-10.5分,f,（,x,2,）,f,(,x,1,).,即,f,(,x,)是,R,上的增函数.6分,（2）,f,（4）=,f,（2+2）=,f,（2）+,f,（2）-1=5，,f,（2）=3，8分,原不等式可化为,f,(3,m,2,-,m,-2),f,(2),f,(,x,)是,R,上的增函数，3,m,2,-,m,-22,10分,解得-1,m,故解集为 12分,f,(,x,)在定义域上（或某一单调区间上）,具有单调性，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,若函数是,增函数,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,1时，,f,(,x,)0.,（1）求,f,(1)的值；,（2）判断,f,(,x,）的单调性；,（3）若,f,(3)=-1,解不等式,f,(|,x,|)0,代入得,f,(1)=,f,(,x,1,)-,f,(,x,1,)=0,故,f,(1)=0.,（2）任取,x,1,x,2,(0,+)，且,x,1,x,2,则,由于当,x,1时，,f,(,x,)0,所以 即,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,因此,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,)在区间(0,+)上是单调递减函数.,（3）由 =,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)得,=,f,(9)-,f,(3),而,f,(3)=-1,所以,f,(9)=-2.,由于函数,f,(,x,)在区间（0,+）上是单调递减函数，,由,f,(|,x,|)9,x,9或,x,9或,x,-9.,1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数,f,(,x,),在其区间上的单调性，其步骤是,（1）设,x,1,、,x,2,是该区间上的任意两个值，且,x,1,x,2,；,（2）作差,f,（,x,1,）-,f,（,x,2,），然后变形；,（3）判定,f,（,x,1,）-,f,（,x,2,）的符号；,（4）根据定义作出结论.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.求函数的单调区间,首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其,定,义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本,初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用,图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.,3.复合函数的单调性,对于复合函数,y,=,f,g,(,x,),若,t,=,g,(,x,)在区间(,a,b,)上是,单调函数,且,y,=,f,(,t,)在区间(,g,(,a,),g,(,b,)或者(,g,(,b,),g,(,a,)上是单调函数,若,t,=,g,(,x,)与,y,=,f,(,t,),的单调性相同,(同时为增或减),则,y,=,f,g,(,x,)为增函,数;若,t,=,g,(,x,),与,y,=,f,(,t,)的单调性相反,则,y,=,f,g,(,x,)为减函数.,简称为:同增异减.,1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上,单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两,个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.,2.两函数,f,(,x,)、,g,(,x,)在,x,(,a,b,)上,都是增(减)函数,则,f,(,x,)+,g,(,x,)也为增(减)函数,但,f,(,x,),g,(,x,),等的,单调性与其正负有关，切不可盲目类比.,失误与防范,一、选择题,1.若函数,y,=,ax,与 在(0,+)上都是减函数，,则,y,=,ax,2,+,bx,在（0，+）上是 （）,A.增函数 B.减函数