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第二十二章,二次函数,22.3,实际问题与二次函数,第,2,课时,1.,能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题,.,（重点）,2.,弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围,.,（难点）,学习目标,导入新课,情境引入,在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题,.,商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求,.,如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？,讲授新课,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，已知商品的进价为每件,40,元，则每星期销售额是,元，销售利润,元,.,探究交流,18000,6000,数量关系,（,1,）销售额,=,售价,销售量,;,（,2,）利润,=,销售额,-,总成本,=,单件利润,销售量,;,（,3,）单件利润,=,售价,-,进价,.,利润问题中的数量关系,例,1,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,18,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,涨价销售,每件涨价,x,元，则每星期售出商品的利润,y,元，填空：,单件利润（元）,销售量（件）,每星期利润（元）,正常销售,涨价销售,20,300,20+,x,300-10,x,y,=(20+,x,)(300-10,x,),建立函数关系式：,y,=(20+,x,)(300-10,x,),即：,y,=-10,x,2,+100,x,+6000.,6000,如何定价利润最大,自变量,x,的取值范围如何确定？,营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故,300-10,x,0,，且,x,0,因此自变量的取值范围是,0,x,30.,涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？,y,=-10,x,2,+100,x,+6000,，,当,时,y,=-105,2,+1005+6000=6250.,即定价,65,元时，最大利润是,6250,元,.,降价销售,每件降价,x,元，则每星期售出商品的利润,y,元，填空：,单件利润（元）,销售量（件）,每星期利润（元）,正常销售,降价销售,20,300,20-,x,300+18,x,y,=(20-,x,)(300+18,x,),建立函数关系式：,y,=(20-,x,)(300+18,x,),，,即：,y,=-18,x,2,+60,x,+6000.,例,1,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,18,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,6000,综合可知，应定价,65,元时，才能使利润最大,.,自变量,x,的取值范围如何确定？,营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故,20-,x,0,，且,x,0,因此自变量的取值范围是,0,x,20.,涨价多少元时，利润最大，是多少？,当,时,即定价,57.5,元时，最大利润是,6050,元,.,即：,y,=-18,x,2,+60,x,+6000,，,由,(1)(2),的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗,?,例,2,某网络玩具店引进一批进价为,20,元,/,件的玩具，如果以单价,30,元出售，那么一个月内售出,180,件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨,1,元，月销售量将相应减少,10,件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？,每件商品的销售单价上涨,x,元，一个月内获取的商品总利润为,y,元，填空：,单件利润（元）,销售量（件）,每月利润（元）,正常销售,涨价销售,10,180,10+,x,180-10,x,y,=(10+,x,)(180-10,x,),1800,建立函数关系式：,y,=,(10+,x,)(180-10,x,),即：,y,=-10,x,2,+80,x,+1800.,营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故,180-10,x,0,，因此自变量的取值范围是,x,18.,涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？,y,=-10,x,2,+80,x,+1800,=-10(,x-,4,),2,+1960.,当,x,=4,时，即销售单价为,34,元时，,y,取最大值,1960,元,.,答：当销售单价为,34,元时，该店在一个月内能获得最,大利润,1960,元,.,自变量,x,的取值范围如何确定？,知识要点,求解最大利润问题的一般步骤,（,1,）建立利润与价格之间的函数关系式：,运用,“,总利润,=,总售价,-,总成本,”,或,“,总利润,=,单件利润,销售量,”,（,2,）结合实际意义，确定自变量的取值范围；,（,3,）在自变量的取值范围内确定最大利润：,可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出,.,例,3,：,某商店试销一种新商品，新商品的进价为,30,元,/,件，经过一段时间的试销发现，,每月的销售量会因售价的调整而不同,.,令每月,销售量为,y,件，售价为,x,元,/,件，,每月的总利润为,Q,元,.,（,1,）当售价在,40,50,元时，每月销售量都为,60,件，则此时每月的总利润最多是多少元？,解：由题意得：当,40,x,50,时，,Q=60(,x,30)=60,x,1800,y,=60 0,，,Q,随,x,的增大而增大,当,x,最大,=50,时，,Q,最大,=1200,答：此时每月的总利润最多是,1200,元,.,（,2,）当售价在,50,70,元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价,x,是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？,解：当,50,x,70,时，,设,y,与,x,函数关系式为,y,=,kx,+,b,线段过,(50,，,60),和,(70,，,20).,50,k,+,b,=,60,70,k,+,b,=20,y,=,2,x,+160,（,50,x,70,）,解得：,k,=,2,b,=160,y,=,2,x,+160,（,50,x,70,）,Q=(,x,30),y,=(,x,30)(,2,x,+160),=,2x,2,+220,x,4800,=,2(,x,55),2,+1250,(50,x,70),a,=,2,0,，图象开口向下，,当,x,=55,时，,Q,最大,=1250,当售价在,50,70,元时，售价,x,是,55,元时，获利最大，,最大利润是,1250,元,.,解：当,40,x,50,时，,Q,最大,=1200,1218,当,50,x,70,时，,Q,最大,=1250,1218,售价,x,应在,5070,元之间,.,令：,2(,x,55),2,+1250=1218,解得：,x,1,=51,，,x,2,=59,当,x,1,=51,时，,y,1,=,2,x,+160=,251+160=58(,件,),当,x,2,=59,时，,y,2,=,2,x,+160=,259+160=42(,件,),若,4,月份该商品销售后的总利润为,1218,元，则该商品售价为,51,元或,59,元，当月的销售量分别为,58,件或,42,件,.,（,3,）若,4,月份该商品销售后的总利润为,1218,元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？,变式：,(1),若该商品售价在,40,70,元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润,Q,与售价,x,的函数关系式；并说明，当该商品售价,x,是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？,解：,Q,与,x,的函数关系式为：,60,x,1800,（,40,x,50,）,2(,x,55),2,+1250,（,50,x,70,）,Q=,由,例,3,可知：,若,40,x,50,，则当,x,=50,时，,Q,最大,=1200,若,50,x,70,，则当,x,=55,时，,Q,最大,=1250,1200,1250,售价,x,是,55,元时，获利最大，最大利润是,1250,元,.,（,2,）若该商店销售该商品所获利润不低于,1218,元，试确定该商品的售价,x,的取值范围；,解：当,40,x,50,时，,Q,最大,=1200,1218,，,此情况不存在,.,60,x,1800,（,40,x,50,）,2(,x,55),2,+1250,（,50,x,70,）,Q=,当,50,x,70,时，,Q,最大,=12501218,，,令,Q,=1218,，得,2(,x,55),2,+1250=1218,解得：,x,1,=51,，,x,2,=59,由,Q,=,2(,x,55),2,+1250,的,图象和性质可知,:,当,51,x,59,时，,Q1218,若该商品所获利润不低于,1218,元，,则售价,x,的取值范围为,51,x,59,.,x,Q,0,55,1218,59,51,1250,（,3,）在（,2,）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于,1620,元，则售价,x,为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？,解：由题意得：,51,x,59,30(,2,x,+160)1620,解得：,51,x,53,Q,=,2(,x,55),2,+1250,的顶点,不在,51,x,53,范围内，,又,a,=,2,0,，,当,51,x,53,时，,Q,随,x,的增大而增大,当,x,最大,=53,时，,Q,最大,=1242,此时售价,x,应定为,53,元，,利润最大，最大利润是,1242,元,.,x,Q,0,55,1242,53,51,1,.某种商品每件的进价为,20,元，调查表明：在某段时间内若以每件,x,元（,20,x,30,),出售，可卖出,（,300,20,x,）,件，使利润最大，则每件售价应定为,元,.,25,当堂练习,2.,进价为,80,元的某件定价,100,元时，每月可卖出,2000,件，价格每上涨,1,元，销售量便减少,5,件，那么每月售出衬衣的总件数,y,(,件）与衬衣售价,x,(,元,),之间的函数关系式为,.,每月利润,w,(,元,),与衬衣售价,x,(,元,),之间的函数关系式为,.(,以上关系式只列式不化简）,.,y,=2000-5(,x,-100),w,=2000-5(,x,-100)(,x,-80),3.,一工艺师生产的某种产品按质量分为,9,个档次,.,第,1,档次（最低档次）的产品一天能生产,80,件，每件可获利润,12,元,.,产品每提高一个档次，每件产品的利润增加,2,元，但一天产量减少,4,件,.,如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？,w,=12+2(,x,1,)80,4,(,x,1,),=(10+2,x,)(84,4,x,),=8,x,2,+128,x,+840,=8(,x,8),2,+1352.,解：设生产,x,档次的产品时，每天所获得的利润为,w,元，,则,当,x=,8,时，,w,有最大值，且,w,最大,=1352.,答：该工艺师生产第,8,档次产品，可使利润最大，,最大利润为,1352.,x,y,5,16,O,7,4.,某种商品每天的销售利润,y,（元）与销售单价,x,(,元）之间满足关系：,y=ax,2,+bx,-75,.,其图象如图,.,（,1,）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？,解：,(1),由题中条件可求,y,=-,x,2,+20,x,-75,-10,对称轴,x,=10,当,x,=10,时，,y,值最大，最大值为,25.,即销售单价定为,10,元时，销售利润最,大，为,25,元；,（,2,）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于,16,元？,(2),由对称性知,y,=16,时，,x,=7,和,13.,故销售单价在,7,x,13,时，利润不低于,16,元,.,课堂小结,最大利润问题,建立函数关系式,总利润,=,单件利润,销
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