非正弦周期电流电路和信号的频谱

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,结束,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱,主要内容,本章讲述非正弦周期信号稳态电路的分,析法,谐波分析法，主要内容有：,1.,非正弦周期信号及其傅里叶级数；,2.,非正弦周期信号频谱的概念，及有效值和平均功率的计算。,10/15/2024,1,非正弦周期信号稳态电路的谐波分析法，建立在,傅里叶级数理论、相量法和叠加定理,基础之上，是前面有关章节的综合运用：,1,、把非正弦周期信号可以分解为直流分量和一系,列不同频率正弦谐波分量的叠加（之和），然,后求每个分量单独作用下的响应；,2,、其中直流分量的响应可借助直流电阻电路分析,求得；,3,、每个正弦谐波分量的响应均可借助相量法分析,求得；,4,、根据叠加定理，总响应是所有分响应的叠加。,特别提示,10/15/2024,2,13,-,1,非正弦周期信号,实践中会碰到许多非正弦信号，原因有,1.,激励本身,是非正弦信号,；,交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号。,2.,电路中含有非线性元件,(,如整流电路等,),。,非正弦信号有,周期性,和,非周期性,之分。,周期信号满足,f,(,t,)=,f,(,t,+,kT,),当,f,(,t,),不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。,10/15/2024,3,实践中常见的非正弦周期信号,o,t,u,T,o,t,i,T,2,T,方,波,锯齿波,i,o,t,T,尖顶脉冲,o,t,u,T,全波整流,数字电路、计算机的,CP,等,通过显,像管,偏转线圈的扫描电流,晶闸管的触发脉冲等,桥式或全波整流电路的输出波形,10/15/2024,4,实践中常见的非正弦周期信号（续）,i,o,t,T,尖顶波,正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形,u,o,t,T,三角波,PWM,调制器的时间基准信号波形,u,o,t,T,半波整流,o,t,u,T,阶梯波,由,数字电路或计算机产生的正弦信号,半波,10/15/2024,5,13,-,2,周期函数分解为傅里叶级数,1.,非正弦周期函数的分解,根据高等数学知识：若非正弦周期信号,f,(,t,),满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。,系数,a,0,、,a,k,、,b,k,分别为,：,f,(,t,),=,a,0,+,a,k,cos(,k,w,1,t,),+,b,k,sin(,k,w,1,t,),k,=,1,a,0,=,T,1,0,T,f,(,t,),d,t,a,k,=,T,2,0,T,f,(,t,),cos(,k,w,1,t,),d,t,b,k,=,T,2,0,T,f,(,t,),sin(,k,w,1,t,),d,t,10/15/2024,6,傅里叶级数的重要性质,正交性：傅里叶级数的各次谐波是正交的，即，下述积分在一个周期内的积分值为,0,；,T,1,0,T,cos,k,w,1,t,sin,n,w,1,t,d,t,=,0,0,T,T,1,cos,k,w,1,t,cos,n,w,1,t,d,t,=,0,0,T,T,1,sin,k,w,1,t,sin,n,w,1,t,d,t,=,0,k,n,时,k,n,时,10/15/2024,7,根据给定,f,(,t,),的形式，,积分区间也可以改为：,积分区间也可以是,0,2p,或,-p,p,，例如：,a,k,=,p,1,f,(,t,),cos(,k,w,1,t,),d(,w,1,t,),-p,p,对,a,0,、,b,k,也,作同样的处理。,a,0,=,T,1,0,T,f,(,t,),d,t,a,k,=,T,2,0,T,f,(,t,),cos(,k,w,1,t,),d,t,b,k,=,T,2,0,T,f,(,t,),sin(,k,w,1,t,),d,t,-,2,T,2,T,0,2,p,a,k,=,p,1,f,(,t,),cos(,k,w,1,t,),d(,w,1,t,),10/15/2024,8,展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数,a,k,、,b,k,的,意义也不明确。,将展开式合并成另一种形式,余弦级数：,令,a,k,=,A,km,cos,f,k,b,k,=,-,A,km,sin,f,k,则,f,(,t,),=,A,0,+,k,=,1,A,km,cos,(,k,w,1,t,+,f,k,),式,中：,A,km,=,a,k,2,+,b,k,2,f,k,=,arctg,a,k,-,b,k,f,(,t,),=,a,0,+,a,k,cos(,k,w,1,t,),+,b,k,sin(,k,w,1,t,),k,=,1,10/15/2024,9,A,0,是,f,(,t,),的,恒定分量,，,或称为,直流分量,。,k,=,1,的项,A,m,cos(,w,1,t,+,f,1,),具有与,f,(,t,),相同的频率，称,基波分量,。,基波占,f,(,t,),的主要成分，基本代表了,f,(,t,),的特征。,k,2,的各项，分别称为,二次，三次谐波,等。,或统称,高次谐波,。,A,km,=,a,k,2,+,b,k,2,f,k,=,arctg,a,k,-,b,k,f,(,t,),=,A,0,+,k,=,1,A,km,cos,(,k,w,1,t,+,f,k,),10/15/2024,10,2.,非正弦周期信号的频谱,f,(,t,),中,各次谐波的幅值和初相不同，对不同的,f,(,t,),，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。,振幅频谱：,f,(,t,),展开式中,A,km,与,w,(,=,k,w,1,),的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”。,因,k,是正,整数，故,频谱图,是离散的，也称,线频谱,。,相位频谱：,指,f,k,与,w,的关系。,f,(,t,),=,A,0,+,k,=,1,A,km,cos,(,k,w,1,t,+,f,k,),10/15/2024,11,锯齿波的,振幅频谱图,今后若无说明，均指振幅频谱。,i,o,t,I,-,I,T,/,2,-,T,/,2,T,o,w,I,km,/,2,w,1,2,w,1,3,w,1,4,w,1,5,w,1,I,/,p,I,/,2,p,I,/,3,p,I,/,4,p,i,(,t,),=,p,2,I,cos(,w,1,t,-,90,o,),+,2,1,cos(2,w,1,t,+,90,o,),+,3,1,cos(3,w,1,t,-,90,o,),+,4,1,cos(4,w,1,t,+,90,o,),+,锯齿波的,傅里叶级数展开式为,10/15/2024,12,3.,波形特征及其与级数分解的关系,(1),若,f,(,t,),为“镜”对称,满足,f,(,t,),=,-,f,(,t,T,/2),则,a,2,k,=,b,2,k,=0,即展开式中,无直流分量；,不含偶次谐波。,o,t,f,(,t,),T,/2,T,移动半个周期，得另半个周期的镜像,知,A,0,是,f,(,t,),在一个周期内与横轴围成的面积。,所以即使,f,(,t,),不是,“镜”对称，,只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等，,就有,A,0,=0,。,另外，对某些,f,(,t,),，求,A,0,时也可以不用积分。,t,1,A,由,A,0,=,T,1,0,T,f,(,t,),d,t,10/15/2024,13,(2),若,f,(,t,),是偶函数,即满足,f,(,t,)=,f,(,-,t,),则,b,k,=0,。,(3),若,f,(,t,),是奇函数,即满足,f,(,-,t,),=-,f,(,t,),o,u,t,T/,2,-,T/,2,i,o,t,T,T,2,-,T,2,则,a,k,=0,，,只求,b,k,即可：,A,0,=,T,2,0,f,(,t,),d,t,T,2,a,k,=,T,4,0,f,(,t,)cos(,k,w,1,t,)d,t,T,2,b,k,=,T,4,0,f,(,t,)sin(,k,w,1,t,)d,t,T,2,10/15/2024,14,(4),若,f,(,t,),为半波对称,即满足,f,(,t,)=,f,(,t,T,/2),则,a,2,k,+1,=,b,2,k,+1,=0,展开式中不含奇次谐波。,对某些,f,(,t,),，,适当移动纵坐标,(,另选一个计时起点,),，就变为偶函数或奇函数。,A,km,与计时起点无关，由于,a,k,、,b,k,与计时起点有关，所以,f,k,与计时起点有关。,但各次谐波的相对位置不变。,也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原函数的系数。,o,t,u,T,/2,-,T,/2,T,T,是整流电源周期,10/15/2024,15,例,1,解：,f,(,t,),是奇函数，,a,k,=0,所以只需求,b,k,即可,。,结果见教材,P320,。,o,t,f,(,t,),T,/2,-,T,/2,E,m,-,E,m,T,w,1,t,2,p,p,-,p,求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。,=,0,k,为偶数,k,p,4,E,m,k,为奇数,若将坐标右移,T,/,4,o,t,1,f,1,(,t,1,),E,m,-,E,m,w,1,t,T,4,-,T,4,p,-,p,则新,旧,函数的关系为：,f,(,t,),=,f,1,(,t,1,),b,k,=,p,2,0,E,m,sin(,k,w,1,t,)d(,w,1,t,),p,=,2,E,m,k,p,1,-,cos(,k,p,),=,f,1,t,-,4,T,10/15/2024,16,由对称性可知：,A,0,=0,，,b,k,=0,。,o,t,1,f,1,(,t,1,),E,m,-,E,m,w,1,t,T,4,-,T,4,p,-,p,k,为偶数，,a,k,=,0,。,k,为奇数，,f,1,(,t,1,),=,或者：,a,k,=,p,2,0,E,m,cos(,k,w,1,t,1,)d(,w,1,t,1,),p,=,p,2,0,E,m,cos(,k,w,1,t,1,)d(,w,1,t,1,),p,2,p,(-,E,m,),cos(,k,w,1,t,1,)d(,w,1,t,1,),p,2,+,=,k,p,4,E,m,sin,2,k,p,a,k,=,k,p,4,E,m,(-,1),2,k,-1,p,4,E,m,cos(,w,1,t,1,),-,3,1,cos(3,w,1,t,1,),+,5,1,cos(5,w,1,t,1,),+,f,1,(,t,1,),=,p,4,E,m,S,k,=,1,(-,1),k,-,1,2,k,-,1,1,cos(2,k,-,1),w,1,t,1,10/15/2024,17,若需要写,f,(,t,),的展开式，,f,(,t,),4,E,m,p,4,E,m,3,p,4,E,m,5,p,4,E,m,7,p,o,w,A,km,w,1,3,w,1,5,w,1,7,w,1,9,w,1,频谱图,=,f,1,t,-,4,T,f,(,t,),=,p,4,E,m,cos(,w,1,t,-,4,w,1,T,),-,3,1,cos(3,w,1,t,-,4,3,w,1,T,),+,因,w,1,T,=,2,p,所以,w,1,T,/4,=p,/,2,f,(,t,),=,p,4,E,m,sin(,w,1,t,),+,3,1,sin(3,w,1,t,),+,5,1,sin(5,w,1,t,),+,10/15/2024,18,理论上，一个收敛的傅里叶级数要取无穷多项，才能准确代表原函数。,13,次，,1.05,E,m,；,35,次，,0.98,E,m,。,o,w,1,t,f,(,t,),分析时还应考虑频率响应。如：在某个,(,些,),频率下可能发生谐振等。,取,前,3,项的情况,f,(,t,),=,p,4,E,m,sin(,w,1,t,),+,3,1,sin(3,w,1,t,),+,5,1,sin(5,w,1,t,),+,