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Slide Title,Body Text,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,第一节 第二型曲面积分,一、,第二型曲面积分的概念和性质,二、,第二型曲面积分的计算,1 定向曲面,2 第二型曲面积分的概念,3 第二型曲面积分的性质,1 分面投影法,2 合一投影法,1 定向曲面,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,能区分出曲面的侧 的曲面叫做,双侧曲面,.,一、,第二型曲面积分的概念和性质,典型,双侧曲面,选定了侧的双侧曲面称为,定向曲面,或,有向曲面,.,用,表示选定了某个侧的定向曲面，,则选定其相反侧的定向曲面用,表示.,注意,：,与,是不同的曲面.,1 定向曲面,规定:,定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的侧.,例如,，空间直角坐标系中,x,轴指向,前方,，,y,轴指向,右方,，,z,轴指向,上方,。,y,z,O,x,1 定向曲面,取上侧，,则它在点,(,x,y,z,(,x,y,)处的,法向量取,S,),(,y,x,z,z,=,的方程为：,若光滑曲面,S,即 与,oz,轴正向交成锐角,关于,oz,轴的方向余弦,1 定向曲面,取下侧，,则它在点,(,x,y,z,(,x,y,)处的,法向量取,S,),(,y,x,z,z,=,的方程为：,若光滑曲面,S,即 与,oz,轴正向交角为钝角,关于,oz,轴的方向余弦,1 定向曲面,光滑曲面,y=y(x,z),的右侧和左侧的法向量分别为：,光滑曲面,x=x(y,z),的前侧和后侧的法向量分别为：,1 定向曲面,光滑曲面,由参数方程：,则它的,侧由法向量：,x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v).,选定,“,+,”,号或,“,”,号确定,例1,在球坐标系下单位球面表示为,1 定向曲面,典型,单侧曲面:莫比乌斯带,2 第二型曲面积分的概念,设,表示流体的流速场，,为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧经曲面,流向正侧的流量。,实例:,流向曲面一侧的流量.,分割,把曲面细分成小块 任取,任取一典型的,微元 在其上任取一点 设其面积也记成,曲面,在点 处的单位法向量,M,S,dS,单位时间流经曲面微元 的流量 可近似地看做一细柱体，底面为 ，高为,故,求和,单位时间流经,的流量：,取极限,流量,的精确值,，取极限得到,2 第二型曲面积分的概念,定义1:,设 是一向量场，,是场中的一定向曲面，称,为向量场 流经曲面,的,通量.,记,当 是电位移向量，则 就是穿过曲面,的电通量，,当 是磁感应强度，则 就是穿过曲面,的磁通量,.,2 第二型曲面积分的概念,则 在单位时间流经曲面,的通量,为,2 第二型曲面积分的概念,定义2:,设,是一片光滑的定向曲面，向量函数,在,上有界，是,上点,(x,y,z),处的,单位向量，若曲面积分,存在，则称此积分为 沿曲面,的第二,型积分。其中 称为定向曲面积分微元，,(1.2),若记,2 第二型曲面积分的概念,则,这时第二型曲面积分(1.2)也可写成,第二型曲面积分又称为,对坐标的曲面积分,。,2 第二型曲面积分的概念,曲面积分,都是第二型曲面积分。例如：可理,解为 沿,的第二型曲,面积分。,2 第二型曲面积分的概念,2 第二型曲面积分的概念,3 第二型曲面积分的性质,(1,)（线性）,其中，和 为常数.,(2,)（可加性）设 且 则,(4,)（长大不等式）设 则,(3,)设,表示相对 的负侧，则,3 第二型曲面积分的性质,第二型曲面积分主要化为二重积分计算,二、,第二型曲面积分的计算,1 分面投影法,设光滑曲面,是由定义在投影区域 的单值函数,z=z(x,y),表示则,其中，面积微元 是,dS,在,xoy,平面的投影.,因此，在第二型曲面积分，,而，,二、,第二型曲面积分的计算,二、,第二型曲面积分的计算,若过投影区域 的点作平行于,oz,轴的直线和曲面,的交点多于一,个，则可把,分割成若干个小片，使每个小片均与平行于,oz,轴的直线的交点不多于一个，然后利用积分可加性计算沿曲面,的积分。,若曲面,由单值函数,是它在,zox,平面的投影区域,；,若曲面,由单值函数,是在yoz平面,的投影区域。,都有相类似的结果，参见课本P260页。,二、,第二型曲面积分的计算,例3,计算曲面积分,其中,是球面,的外侧并满足,的部分。,解,把,分成上下两片，即,位于第一卦限的部分 和,位于第二卦限的部分 ，,它们在,xoy,平面的投影区域,O,y,z,x,二、,第二型曲面积分的计算,上侧,下侧,二、,第二型曲面积分的计算,O,y,z,x,解：,例4,设,是由以O,(0,0,0),A,(1,0,0),B,(0,1,0),和C,(0,0,1),为顶点的四面体OABC的表面，取外侧，求向量场,通过,的通量 。,C(0,0,1),B(0,1,0),A(1,0,0),OAB的方程是,二、,第二型曲面积分的计算,由(1.14)和(1.13)知,故,同理,二、,第二型曲面积分的计算,面,ABC,的方程为,x+y+z=,1,，上侧单位法向量可取,，故,所以,通量,由例2看到，我们可把第二型曲面积分化为相应坐标面的投影区域的二重积分进行计算，称这种方法为“,分面投影法,”。,二、,第二型曲面积分的计算,注记,利用第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系也可以计算沿面,ABC,的积分。,二、,第二型曲面积分的计算,2 合一投影法,把三种类型的积分转化为对同一坐标面的积分,.,因,例如，,设曲面,的方程为,它与平行于坐标轴的直线均至多交于一点，其单位法向,量为,故,二、,第二型曲面积分的计算,于是,然后化为对,xoy,平面的二重积分.,若,的方程为 则,二、,第二型曲面积分的计算,故,例如,，在例3中的面,ABC,由方程：,表示，沿,ABC,的积分,二、,第二型曲面积分的计算,例5,计算曲面积分,其中,是旋转抛物面 介于 及,之间的部分，取下侧。,o,z,x,y,解：,曲面,在xoy平面的投影区域,又,二、,第二型曲面积分的计算,由(1.16),得,因,关于y轴对称，关于,x,是奇函数，故,二、,第二型曲面积分的计算,实际上，如果化为二次积分，在利用定积分的性质便有，,又,关于直线,y=x,对称,，故有,因此,二、,第二型曲面积分的计算,二、,第二型曲面积分的计算,二、,第二型曲面积分的计算,若曲面,由方程,表示，则类似的讨论可知,二、,第二型曲面积分的计算,若曲面,由方程,表示，则类似的讨论可知,二、,第二型曲面积分的计算,
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