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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六级,第七级,第八级,*,进入,1.,一般地，函数,叫做指数函数，其中,x,是,，函数的定义域是,值域是,.,2.,函数,y=a,x,(a0,且,a1),，当,时，在,(-,+),上是增函数；当,时，在,(-,+),上是减函数,.,3.y=a,x,(a0,且,a1),的图象一定过点,.,当,a1,时，若,x0,则,y,，若,x0,，则,y,;,当,0a0,则,y,若,x0,且,a1,m0),的图象可以看成指数函数,y=a,x,的图象向,平移个,单位得到的,；函数,(a0,且,a1,m0),的图象可以看成指数函数,y=a,x,的图象向,平移个,单位得到的,.,y=a,x,(a0,且a1),自变量,R,（0,+）,a1,0a1,(0,1),(0,1),1,右,2,右,m,左,m,5.,函数,y=a,x,和,y=a,-x,的图象关于,对称,；函数,y=ax,和,y=-ax,的图象关于,对称；函数,y=a,x,和,y=-a,-x,的图象关于,对称,.,6.,当,a1,时，,a,f(x),a,g(x),；当,0aa,g(x),f(x)1,时，在区间,D,上是,函数；当,0ag(x),增（减）,减（增）,学点一,基本概念,指出下列函数中，哪些是指数函数：,（1）y=4,x,;（2）y=x,4,;(3)y=-4,x,;(4)y=(-4),x,;,(5)y=,x,;(6)y=4x,2,;(7)y=x,x,;（8）y=(2a-1),x（,a ,且a1.）,【分析】,根据指数函数的定义进行判断.,【解析】,由定义，形如y=a,x,(a0,且a1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数.,（2）不是指数函数.,（3）是-1与指数函数4,x,的积.,(4)中底数-40，且a1)的定义域是R，所以函数y=a,f(x),(a0,且a1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.,【解析】,（1）令x-40,得x4.,定义域为x|xR,且x4.,0,2 1,y=2 的值域为y|y0，且y1.,（2）定义域为xR.,|x|0,y=1,故y=的值域为y|y1.,（3）定义域为R.,y=4,x,+2,x+1,+1=(2x),2,+22,x,+1=(2x+1),2,且2x0,y1.,故y=4,x,+2,x+1,+1的值域为y|y1.,【评析】求与指数函数有关的函数的值域时，要充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.如第（1）小题切记不能漏掉y0.,（4）令 0,得 0,解得x-1或x1.,故定义域为x|x1,x,2,+x-20.,解得-2x1.,函数的定义域是-2,1.,学点三 比较大小,比较下列各题中两个数的大小：,（1）1.7,2.5,1.7,3,;（2）0.8,-0.1,0.8,-0.2,;（3）1.7,0.3,0.9,3.1,.,【分析】,将所给指数值化归到同一指数函数，利用指数函数单调性比较大小；若不能化归为同一底数时，或求范围或找一个中间值再比较大小.,【解析】,（1）指数函数y=1.7,x,，由于底数1.71，指数函数y=1.7,x,在(-,+)上是增函数.,2.53,1.7,2.5,1.7,3,.,（2）函数y=0.8,x,，由于00.8-0.2，0.8,-0.1,1.7,0,=1,0.9,3.1,0.9,3.1,.,【评析】比较大小一般用函数单调性，而比较1.7,0.3,与0.9,3.1,的大小，可在两数间插入1，它们都与1比较大小可得结论，注意此类题在求解时，常插入0或1.,比较下列各题中数的大小：,(1),-0.8,-0.9,;(2),-0.23,-0.25,;(3)(3+2 ),(-1).,(1),y=,x,在R上是减函数,又-0.8-0.9,(2),-0.25,=,0.25,由y=,x,在R上是增函数得,即 .,(3),而y=为R上的减函数,.,即 .,学点四 最值问题,求函数y=，x-3,2的最大值和最小值.,【分析】,令 =t，化函数为关于t的二次函数，再求解.,【解析】,令 =t,x-3,2,t ,y=t,2,-t+1=,当t=时，y=;当t=8时，y=57.,函数的最大值为57,最小值为 .,【评析】化为二次函数,用配方法求解是一种常用的方法.,已知函数y=a,2x,+2a,x,-1(a1)在区间-1,1上的最大值是14,求a的值.,令,t=ax,x-1,1，且a1,t .,原函数化为y=t,2,+2t-1=(t+1),2,-2.,单调增区间是-1,+),当t 时,函数单调递增,当t=a时,=(a+1),2,-2=14,解得a=3或a=-5,又a1,a=3.,【解析】,设u=-x,2,+3x+2=,则当x 时,u是,减函数,当x 时,u是增函数,又当a1时,y=a,u,是增函数,当0a1时,原函数 f(x),=a,-x +3x+2,在 上是减函数,在 上是增函数；,当0a0，且a1,讨论f(x)=a,-x +3x+2,的单调性,2,【分析】,这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题.指数-x,2,+3x+2=当x 时，是减函数,x 时，是增函数,而f(x)的单调性又与01两种范围有关,应分类讨论.,【评析】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数.但一定要注意考虑复合函数的定义域.,讨论函数f(x)=的单调性,并求其值域.,f(x)的定义域为R,令u=-x,2,+2x,则f(u)=.,又,u=-x,2,+2x=-(x-1),2,+1在(-,1上是增函数又,f(u)=在其定义域内为减函数,函数f(x)在(-,1上为减函数,同理可得f(x)在1,+)上为增函数.,学点六 函数的图象及应用,【解析】,其图象是由两部分合成的，一是把y=2,x,的图象向右平移1个单位，在x1的部分，二是把 的图象向右平移1个单位，在x0，f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).,（1）求a的值；,（2）证明：f(x)在(0,+)上是增函数.,【分析】,f(-x)=f(x)说明f(x)是偶函数，由此求a；单调性只能用定义明.,【解析】,（1）因为对一切xR有f(x)=f(-x)，即,，,所以 对一切xR成立.,由此可得 即a,2,=1.,又因为a0，所以a=1.,学点七 指数函数的综合应用,【评析】指数函数的复合函数的性质是学习的重点，研究这些性质，使用的方法仍是前面学习的基本方法.,（2）证明：,f(x)在(0,+)上是增函数.,设a是实数，f(x)=a-(xR).,（1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；,（2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.,(1)证明,：设x,1,x,2,R，且x,1,x,2,，x,1,-x,2,0,则,f(x,1,)-f(x,2,)=(a-)-(a-),=,=.,由于指数函数y=2,x,在R上是增函数，且x,1,0得,所以f(x,1,)-f(x,2,)1或0a0，且a1时,函数y=ax与函数y=的图象关于y轴对称.,(3)由函数y=2,x,y=2,x+1,的图象可以看出,将函数y=2,x,的图象向左平移1个单位,就得到函数y=2,x+1,的图象.注意不要把方向搞错.,（4）结合图象记忆性质，直接进行运算、判断是学习本学案应特别注意的思想方法.,2.指数函数的定义中,需要注意什么?,指数函数的定义中,要注意以下几点：,(1)指数函数的定义是形式性的定义；,(2)a,x位置易混,应牢记指数函数自变量的位置.,1.掌握指数函数图象的规律,是数形结合研究指数函数有关问题的必备基础.,2.当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于y轴,当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向下越靠近于x轴,简称当x0时,底大、图象高.,祝同学们学习上天天有进步！,
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