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单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,型,二、,f,(,x,),=,e,l,x,P,l,(,x,),cos,w,x,+,P,n,(,x,),sin,w,x,型,12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程,y,py,qy,f,(,x,),称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中,p,、,q,是常数,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解,y,Y,(,x,),与非齐次方程本身的一个特解,y,y,*(,x,),之和,y,Y,(,x,),y,*(,x,),提示,=,Q,(,x,),(2,p,),Q,(,x,),(,2,p,q,),Q,(,x,),e,x,Q,(,x,)+2,Q,(,x,)+,2,Q,(,x,),e,x,+,p,Q,(,x,)+,Q,(,x,),e,x,+,qQ,(,x,),e,x,一、,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,型,y,*,Q,(,x,),e,x,设方程,y,py,qy,P,m,(,x,),e,x,特解形式为,下页,Q,(,x,),(2,p,),Q,(,x,),(,2,p,q,),Q,(,x,),P,m,(,x,),(),则得,Q,(,x,),e,x,Q,(,x,),e,x,q,Q,(,x,),e,x,y,*,py,*,qy,*,提示,此时,2,p,q,0,要使()式成立,Q,(,x,),应设为,m,次多项式,Q,m,(,x,),b,0,x,m,b,1,x,m,1,b,m,1,x,b,m,(1)如果,不是特征方程,r,2,pr,q,0,的根,则,y,*,Q,m,(,x,),e,x,下页,一、,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,型,y,*,Q,(,x,),e,x,设方程,y,py,qy,P,m,(,x,),e,x,特解形式为,Q,(,x,),(2,p,),Q,(,x,),(,2,p,q,),Q,(,x,),P,m,(,x,),(),则得,提示,此时,2,p,q,0,但2,p,0,要使()式成立,Q,(,x,),应设为,m,1,次多项式,Q,(,x,),xQ,m,(,x,),其中,Q,m,(,x,),b,0,x,m,b,1,x,m,1,b,m,1,x,b,m,(2)如果,是特征方程,r,2,pr,q,0,的单根,则,y,*,xQ,m,(,x,),e,x,下页,(1)如果,不是特征方程,r,2,pr,q,0,的根,则,y,*,Q,m,(,x,),e,x,一、,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,型,y,*,Q,(,x,),e,x,设方程,y,py,qy,P,m,(,x,),e,x,特解形式为,Q,(,x,),(2,p,),Q,(,x,),(,2,p,q,),Q,(,x,),P,m,(,x,),(),则得,提示,:,此时,2,p,q,0,2,p,0,要使()式成立,Q,(,x,),应设为,m,2,次多项式,Q,(,x,),x,2,Q,m,(,x,),其中,Q,m,(,x,),b,0,x,m,b,1,x,m,1,b,m,1,x,b,m,(3)如果,是特征方程,r,2,pr,q,0,的重根,则,y,*,x,2,Q,m,(,x,),e,x,下页,(2)如果,是特征方程,r,2,pr,q,0,的单根,则,y,*,xQ,m,(,x,),e,x,(1)如果,不是特征方程,r,2,pr,q,0,的根,则,y,*,Q,m,(,x,),e,x,一、,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,型,y,*,Q,(,x,),e,x,设方程,y,py,qy,P,m,(,x,),e,x,特解形式为,Q,(,x,),(2,p,),Q,(,x,),(,2,p,q,),Q,(,x,),P,m,(,x,),(),则得,结论,二阶常系数非齐次线性微分方程,y,py,qy,P,m,(,x,),e,x,有形如,y,*,x,k,Q,m,(,x,),e,x,的特解,其中,Q,m,(,x,),是与,P,m,(,x,),同次的多项式,而,k,按,不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,下页,提示,因为,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,3,x,1,0,不是特征方程的根,所以非齐次方程的特解应设为,y,*,b,0,x,b,1,把它代入所给方程,得,例1,求微分方程,y,2,y,3,y,3,x,1,的一个特解,解,齐次方程,y,2,y,3,y,0,的特征方程为,r,2,2,r,3,0,b,0,x,b,1,2,b,0,x,b,1,3,b,0,x,b,1,3,b,0,x,2,b,0,3,b,1,2,b,0,3,b,0,x,3,b,1,3,b,0,x,2,b,0,3,b,1,3,x,1,提示,3,b,0,3,2,b,0,3,b,1,1,特解形式,例2,求微分方程,y,5,y,6,y,xe,2,x,的通解,解,齐次方程,y,5,y,6,y,0,的特征方程为,r,2,5,r,6,0,其根为,r,1,2,r,2,3,提示,齐次方程,y,5,y,6,y,0,的通解为,Y,C,1,e,2,x,C,2,e,3,x,因为,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,xe,2,x,2,是特征方程的单根,所以非齐次方程的特解应设为,y,*,x,(,b,0,x,b,1,),e,2,x,把它代入所给方程,得,2,b,0,x,2,b,0,b,1,x,提示,2,b,0,1,2,b,0,b,1,0,特解形式,首页,例2,求微分方程,y,5,y,6,y,xe,2,x,的通解,解,齐次方程,y,5,y,6,y,0,的特征方程为,r,2,5,r,6,0,其根为,r,1,2,r,2,3,2,b,0,x,2,b,0,b,1,x,因此所给方程的通解为,因为,f,(,x,),P,m,(,x,),e,x,xe,2,x,2,是特征方程的单根,所以非齐次方程的特解应设为,y,*,x,(,b,0,x,b,1,),e,2,x,把它代入所给方程,得,特解形式,二阶常系数非齐次线性微分方程,y,py,qy,e,x,P,l,(,x,),cos,x,P,n,(,x,)sin,x,有形如,y,*,x,k,e,x,R,(1),m,(,x,),cos,x,R,(2),m,(,x,)sin,x,的特解,其中,R,(1),m,(,x,)、,R,(2),m,(,x,),是,m,次多项式,m,max,l,n,而,k,按,i,(,或,i,),不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,二、,f,(,x,),=,e,l,x,P,l,(,x,),cos,w,x,+,P,n,(,x,),sin,w,x,型,下页,结论,解,结束,特解形式,例3,求微分方程,y,y,x,cos2,x,的一个特解,因为,f,(,x,),e,x,P,l,(,x,),cos,x,P,n,(,x,)sin,x,x,cos2,x,i,2,i,不是特征方程的根,所以所给方程的特解应设为,齐次方程,y,y,0,的特征方程为,r,2,1,0,把它代入所给方程,得,y,*,(,ax,b,)cos2,x,(,cx,d,)sin2,x,(,3,ax,3,b,4,c,)cos2,x,(3,cx,4,a,3,d,)sin2,x,x,cos2,x,
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