1.1.1变化率问题52410

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,.1,导数概念,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为,函数的变化率,问题，即导数。,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念,导数与微分，然后再介绍它们的计算方法，从而解决有关变化率的计算问题。,导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。,导数,反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而,微分,则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。,新课导入,为什么在相同的时间内木块的位移不一样呢？,动动脑,观察,观察,为什么跳水运动员的速度越来越快呢？,解决以上,2,个问题,就需要我们来学习一种新的函数来解释这种现象！,1.1.1,变化率问题,丰富多彩的变化率问题随处可见,.,让我们从其中的两个问题，开始变化率与导数的学习吧！,1.1,变化率与导数,问题,1,气球膨胀率,我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢,.,从数学角度,如何描述这种现象呢,?,我们来分析一下：,气球的体积,V(,单位,:L),与半径,r,单位,:(dm),之间的函数关系是,如果将半径,r,表示为体积,V,的函数,那么,我们来分析一下：,当,V,从,0,增加到,1,时,气球半径增加,气球的,平均膨胀率,为,当,V,从,1,增加到,2,时,气球半径增加,气球的,平均膨胀率,为,显然,0.62,0.16,思考,当空气,容量从,V,1,增加到,V,2,时,气球的平均膨胀率是多少,?,问题,2,高台跳水,想想运动员跳水的过程？,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度,h,(,单位：米,),与起跳后的时间,t,（单位：秒）存在函数关系,h(t)=-4.9,t,2,+6.5t+10.,如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态,?,请计算,思考,当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平均速度是多少?,h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10,总结,以上两个问题都是求变化率，,我们可以用函数关系式,y=f(x),来表,示,.,那么变化率为,若设,x=x,2,x,1,y=f(x,2,),f(x,1,),上述问题中的变化率可用式子 表示,我们称之为函数,f(x),从,x,1,到,x,2,的,平均变化率,1.,平均变化率的定义,这里,x,是,x,1,的一个“增量,”,：,x,2,x,1,+x ;,y,是,(x,1,),的一个“增量,”:f(x,2,)=f(x,1,)+y.,则,平均变化率,为,注意！,2.,是一个整体符号，而不是 与 相乘,.,1,x,是自变量,x,的改变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而,y,是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，,y,0.,例题,1,1,、,已知函数,f(x)=-x,2,的图象上的一点,A(-1,-1),及临近一点,B(0,0),则,y/x,=(),A.3 B.4 C.1 D.-1,c,解：,=0,-,(-1)=1,；,=0-,（,-1,）,=1,；,思考,观察函数,f(x),的图象,平均变化率,表示什么,?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),X,2,-x,1,f(x,2,)-f(x,1,),割线,AB,的斜率,2.,平均变化率的几何意义,例,2,(1),计算函数,f,(,x,)=2,x,+1,在区间,3,1,上的平均变化率,；,(2),求函数,f,(,x,)=,x,2,+1,的平均变化率。,(1),解：,y=,f,(,-,1)-,f,(,-,3)=4,x,=,-,1-(,-,3)=2,(2),解：,y=,f,(,x+,x,)-,f,(,x,),=2,x x+,(,x,),2,求函数的平均变化率的步骤：,（,1,）,求函数的增量,y=f(x,2,)-f(x,1,);,（,2,）,计算平均变化率,1,已知函数,f,(,x,),，当自变量由,x,0,变化到,x,1,时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数,(,),A,在区间,x,0,，,x,1,上的平均变化率,B,在,x,0,处的变化率,C,在,x,1,处的变化率,D,以上结论都不对,随堂练习,A,2,、,函数 在区间 上的平均变化率是（）,A.4 B.2,C.,D.,B,3,质点运动规律为,s,(,t,),t,2,3,，则从,3,到,3,t,的平均速度为,(,),答案,A,4.,求,y=x,2,在,x=x,0,附近的平均变化率,.,解析,y,f,(1,x,),f,(1),(1,x,),3,1,(,x,),3,3(,x,),2,3,x,，,5,、,过曲线,y=f(x)=x,3,上两点,P,（,1,，,1,）,和,Q,（,1+x,1+y,）,作曲线的割线，求出当,x=0.1,时割线的斜率,.,作 业,求,y=1/x,在,x=x,0,附近的平均变化率,.,