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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,考点一,矩形、菱形、正方形的性质与判定,图形,性质,判定,面积公式,矩形,边,两组对边分别,平行且相等,1,.,定义法,:,有一个角是,直角,的平行四边形叫矩形,;,2,.,对角线,相等,的平行四边形是矩形,;,3,.,有三个角是直角的四边形是矩形,矩形的面积等于长与宽之积,角,四个角都是,直,角,对角线,对角线互相平分并且,相等,对称性,既是轴对称图形又是中心对称图形,有两条对称轴,考点一,矩形、菱形、正方形的性质与判定,图形,性质,判定,面积公式,菱形,边,两组对边分别平行,四条边,相等,1,.,依据定义,:,有一组,邻边,相等的平行四边形是菱形,;,2,.,对角线互相,垂直,的平行四边形是菱形,;,3,.,四条边,都相等,的四边形是菱形,角,对角相等,对角线,两条对角线互相,垂直,并且每条对角线平分,一组对角,对称性,既是轴对称图形又是中心对称图形,对角线的交点就是对称中心,对角线所在直线就是对称轴,有,2,条对称轴,考点一,矩形、菱形、正方形的性质与判定,图形,性质,判定,面积公式,正方形,边,对边平行、四条边都,相等,1,.,有一组邻边相等的矩形是正方形,;,2,.,对角线,互相垂直,的矩形是正方形,;,3,.,有一个角是直角的菱形是正方形,;,4,.,对角线,相等,的菱形是正方形,角,四个角都是,直角,对角线,两条对角线互相,垂直,且,平分,每条对角线平分一组对角,对称性,既是轴对称图形又是中心对称图形,有,4,条对称轴,考点一,矩形、菱形、正方形的性质与判定,判定正方形的思路图,考点,二,平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系,命题点,一,矩形的性质及判定,命题角度,1,应用矩形的性质进行相关计算或证明,典例,1,(2017,广西南宁,22),如图,矩形,ABCD,的对角线,AC,BD,相交于点,O,点,E,F,在,BD,上,BE=DF.,(1),求证,:,AE=CF,;,(2),若,AB=,6,COD=,60,求矩形,ABCD,的面积,.,命题点,一,矩形的性质及判定,命题角度,1,应用矩形的性质进行相关计算或证明,典例,1,命题点,一,矩形的性质及判定,命题角度,1,应用矩形的性质进行相关计算或证明,(2017,甘肃兰州,8),如图,矩形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,相交于点,O,ADB=,30,AB=,4,则,OC=,变式训练,1,A.5 B.4 C.3.5 D.3,命题点,一,矩形的性质及判定,命题角度,2,判定一个四边形是矩形,典例,2,(2017,山东日照,18),如图,已知,BA=AE=DC,AD=EC,CE,AE,垂足为,E.,(1),求证,:,DCA,EAC,;,(2),只需添加一个条件,即,可使四边形,ABCD,为矩形,.,请加以证明,.,命题点,一,矩形的性质及判定,命题角度,2,判定一个四边形是矩形,典例,2,解析,命题点二,菱形的性质及判定,命题角度,1,应用菱形的性质进行相关计算或证明,典例,3,(2017,河北,9),求证,:,菱形的两条对角线互相垂直已知,:,如图,四边形,ABCD,是菱形,对角线,AC,BD,交于点,O.,求证,:,AC,BD.,以下是排乱的证明过程,:,又,BO=DO,;,AO,BD,即,AC,BD,;,四边形,ABCD,是菱形,;,AB=AD.,证明步骤正确的顺序是,A. B.,C. D.,命题点二,菱形的性质及判定,命题角度,1,应用菱形的性质进行相关计算或证明,变式训练,2,(2017,漳州质检,),如图,在四边形,ABCD,中,对角线,AC,BD,相交于点,O,且,OB=OD.,点,E,在线段,OA,上,连接,BE,DE.,给出下列条件,:,OC=OE,;,AB=AD,;,BC,CD,;,CBD=,EBD.,请你从中选择两个条件,使四边形,BCDE,是菱形,并给予证明,.,你选择的条件是,:,(,只填写序号,),.,命题点二,菱形的性质及判定,命题角度,2,判定一个四边形是菱形,典例,4,命题点二,菱形的性质及判定,命题角度,2,判定一个四边形是菱形,典例,4,解法一,选,.,OB=OD,OC=OE,四边形,BCDE,是平行四边形,.,AB=AD,OB=OD,AO,BD,即,EC,BD,平行四边形,BCDE,是菱形,.,解法二,选,.,OB=OD,OC=OE,四边形,BCDE,是平行四边形,BC,DE,CBD=,BDE.,CBD=,EBD,BDE=,EBD,BE=DE,平行四边形,BCDE,是菱形,.,命题点二,菱形的性质及判定,命题角度,2,判定一个四边形是菱形,典例,4,解法三,选,.,AB=AD,OB=OD,AO,BD,即,EC,BD,BOC=,BOE=,90,.,CBD=,EBD,BO=BO,BOC,BOE,OE=OC.,又,OB=OD,四边形,BCDE,是平行四边形,.,又,EC,BD,平行四边形,BCDE,是菱形,.,(,备注,:,选,或,或,结论不成立,),命题点三,正方形的性质及判定,命题角度,1,应用正方形的性质进行相关计算和证明,典例,5,(2017,广东,10),如图,已知正方形,ABCD,点,E,是,BC,边的中点,DE,与,AC,相交于点,F,连接,BF,下列结论,:,S,ABF,=S,ADF,;,S,CDF,=,4,S,CBF,;,S,ADF,=,2,S,CEF,;,S,ADF,=,2,S,CDF,其中正确的是,A. B. C. D.,命题点三,正方形的性质及判定,命题角度,1,应用正方形的性质进行相关计算和证明,变式训练,3,(2017,天津,17),如图,正方形,ABCD,和正方形,EFCG,的边长分别为,3,和,1,点,F,G,分别在边,BC,CD,上,P,为,AE,的中点,连接,PG,则,PG,的长为,.,命题点三,正方形的性质及判定,命题角度,2,正方形的判定及其应用,典例,6,(2017,山东青岛,21),已知,:,如图,在菱形,ABCD,中,点,E,O,F,分别为,AB,AC,AD,的中点,连接,CE,CF,OE,OF.,(1),求证,:,BCE,DCF,;,(2),当,AB,与,BC,满足什么关系时,四边形,AEOF,是正方形,?,请说明理由,.,命题点三,正方形的性质及判定,命题角度,2,正方形的判定及其应用,典例,6,(2),当,AB,BC,时,四边形,AEOF,为正方形,.,理由如下,:,点,E,O,分别是,AB,AC,的中点,EO,BC.,又,BC,AD,OE,AD,即,OE,AF.,同理可证,OF,AE,四边形,AEOF,为平行四边形,.,又点,E,F,分别为,AB,AD,的中点,AE=AF,平行四边形,AEOF,为菱形,.,AB,BC,B=,90,BAD=,90,四边形,AEOF,为正方形,.,命题点三,正方形的性质及判定,命题角度,2,正方形的判定及其应用,变式训练,4,如图,以,A,B,为其中两个顶点作位置不同的正方形,一共可以作,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,典例,7,阅读下面材料,:,在数学课上,老师请同学们思考如下问题,:,如图,(1),我们把一个四边形,ABCD,的四边中点,E,F,G,H,依次连接起来,得到的四边形,EFGH,是平行四边形吗,?,小敏在思考问题时,有如下思路,:,连接,AC.,结合小敏的思路作答,:,(1),若只改变图,(1),中四边形,ABCD,的形状,如图,(2),则四边形,EFGH,还是平行四边形吗,?,说明理由,.,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,典例,7,图,(1),图,(2),参考小敏思考问题的方法解决以下问题,:,(2),如图,(2),在,(1),的条件下,若连接,AC,BD.,当,AC,与,BD,满足什么条件时,四边形,EFGH,是菱形,?,写出结论并证明,.,当,AC,与,BD,满足什么条件时,四边形,EFGH,是矩形,?,直接写出结论,.,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,典例,7,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,典例,7,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,典例,7,常见的中点四边形,顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形,.,中点四边形的形状由原四边形两对角线的关系,(,相等、垂直、相等且互相垂直,),决定,.,证明中点四边形的形状时,一般要用到对角线,依据三角形的中位线定理获得判定的条件,.,常见的中点四边形的结论有,:,(1),顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形,;,(2),顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形,;,(3),顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形,;,(4),顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形,;,(5),顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形,;,(6),顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形,.,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,变式训练,5,(2016,宁德,24),已知正方形,ABCD,点,E,在直线,CD,上,.,(1),若,F,是直线,BC,上一点,且,AFAE,求证,:AF=AE;(,请利用图中所给的图形加以证明,),(2),写出,(1),中命题的逆命题,并画出一个图形说明该逆命题是假命题,;,(3),若点,G,在直线,BC,上,且,AG,平分,BAE,探索线段,BG,DE,AE,之间的数量关系,并说明理由,.,命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,变式训练,5,(1),证明,:,四边形,ABCD,是正方形,AB=AD,ADC=,ABF=,BAD=,90,.,AE,AF,EAF=,90,=,BAD,BAF=,EAF-,EAB=,BAD-,EAB=,DAE,ABF,ADE,AF=AE.,(2),逆命题,:,已知正方形,ABCD,点,E,在直线,CD,上,点,F,是直线,BC,上一点,且,AF=AE,则,AF,AE.,画图如下,:,由图可知,当,AF=AE,时,AF,不一定垂直于,AE,所以该逆命题是假命题,.,(,答案不唯一,正确即可,),命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,变式训练,5,(3),如图,(1),当点,E,在线段,CD,上时,有,AE=DE+BG.,理由,:,过点,A,作,AF,AE,交,CB,的延长线于点,F,由,(1),得,ABF,ADE,1,=,2,AF=AE,BF=DE.,AG,平分,BAE,3,=,4,1,+,3,=,2,+,4,即,FAG=,DAG.,四边形,ABCD,是正方形,AD,BC,AGF=,DAG=,FAG,AF=FG,AE=AF=FG=BG+BF=BG+DE,AE=BG+DE.,图,(1),命题点四,四边形的综合运用,命题角度四边形综合探究题,变式训练,5,如图,(2),当点,E,在线段,CD,的延长线上时,有,BG=DE+AE.,理由,:,过点,A,作,AF,AE,交,BC,于点,F.,易得,AF=FG=AE,BF=DE,AE=FG=BG-BF=BG-DE,即,BG=DE+AE.,如图,(3),当点,E,在线段,DC,的延长线上时,有,AE=DE+BG,理由同,.,综上所述,线段,BG,DE,AE,之间的数量关系是,:,当点,E,在线段,CD,上或在线段,DC,的延长线上时,AE=DE+BG,;,当点,E,在线段,CD,的延长线上时,BG=DE+AE.,图,(2),图,(3),
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