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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学,*,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,10/14/2024,高等数学,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为,n,阶导数,或,的,二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:,设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,例2.,设,求,解:,特别有:,解:,规定 0!=1,思考:,例3.,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,例4.,设,求,解:,一般地,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,例,5,.,设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,例6.,设,求使,存在的最高,分析,:,但是,不存在.,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,二、高阶导数的运算法则,都有,n,阶导数,则,(,C,为常数),莱布尼兹(Leibniz)公式,及,设函数,推导 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,用数学归纳法可证,莱布尼兹公式,成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,例7.,求,解:,设,则,代入莱布尼兹公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,例8.,设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求,n,阶导数,令,得,由,得,即,由,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,内容小结,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法,利用已知的高阶导数公式,(4)利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,思考与练习,1.,如何求下列函数的,n,阶导数?,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,(3),提示:,令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,2.,(填空题)(1)设,则,提示:,各项均含因子,(,x,2),(2)已知,任意阶可导,且,时,提示:,则当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,3.,试从,导出,解：,同样可求,(见 P101 题4),作业,P101 1(9),(12);3;4(2);8(2),(3);,9(2),(3),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,解:,设,求,其中,f,二阶可导.,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/14/2024,高等数学,
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