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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,No.1,预习学案,No.2,课堂讲义,No.3,课后练习,工具,第一章 常用逻辑用语,栏目导引,2,充分条件与必要条件,1.,通过具体实例理解充分条件、必要条件、充要条件,2.,会判断充分条件和必要条件,3.,能证明命题的充要条件,.,1.,充分条件和必要条件的判断,(,重点,),2.,充分条件和必要条件的区分,(,易混点,),3.,充要条件的判断,(,重点,),4.,证明充要条件时，充分性和必要性的区分,(,易混点,),1,命题的基本结构形式是,，其中,是条件，,是结论,2,原命题和它的,命题同真假,若,p,，则,q,p,q,逆否,1,充分条件与必要条件,命题真假,“,若,p,则,q,”,是真命题,“,若,p,则,q,”,是假命题,推出关系,条件关系,p,是,q,的,条件,q,是,p,的,条件,p,不是,q,的,条件,q,不是,p,的,条件,充分,必要,充分,必要,p,q,2.,充要条件,(1),如果既有,，又有,，就记作,p,q,，,p,是,q,的充分必要条件，简称,条件,(2),概括地说：如果,，那么,p,与,q,互为充要条件,(3),充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是,，二是,p,q,q,p,充要,p,q,充分性,必要性,1,a,b,是,a,|,b,|,的,(,),A,充分而不必要条件,B,必要而不充分条件,C,充要条件,D,既不充分也不必要条件,解析：,由,a,b,不一定可推出,a,|,b,|,，但由,a,|,b,|,一定可以推出,a,b,.,答案：,B,2,(2009,年天津卷,),设,x,R,，则,“,x,1,”,是,“,x,3,x,”,的,(,),A,充分而不必要条件,B,必要而不充分条件,C,充要条件,D,既不充分也不必要条件,解析：,当,x,1,时，,x,3,x,成立,若,x,3,x,，,x,(,x,2,1),0,，得,x,1,0,1,；不一定得到,x,1.,答案：,A,3,在,“,x,2,(,y,2),2,0,是,x,(,y,2),0,的充分不必要条件,”,这句话中，已知条件是,_,，结论是,_,答案：,x,2,(,y,2),2,0,x,(,y,2),0,4,指出下列各题中，,p,是,q,的什么条件？,(1),在,ABC,中，,p,：,A,B,，,q,：,BC,AC,；,(2),p,：数列,a,n,是等差数列，,q,：数列,a,n,的通项公式是,a,n,2,n,1.,解析：,(1),在,ABC,中，显然有,A,B,BC,AC,，,所以,p,是,q,的充要条件,(2),因为数列,a,n,的通项公式是,a,n,2,n,1,数列,a,n,是等差数列，而数列,a,n,是等差数列,/,数列,a,n,的通项公式是,a,n,2,n,1,，所以,p,是,q,的必要不充分条件,.,1,(2011,大纲全国卷，,3),下面四个条件中，使,a,b,成立的充分而不必要的条件是,(,),A,a,b,1,B,a,b,1,C,a,2,b,2,D,a,3,b,3,解析：,A,项：若,a,b,1,，则必有,a,b,，反之，当,a,2,，,b,1,时，满足,a,b,，但不能推出,a,b,1,，故,a,b,1,是,a,b,成立的充分而不必要条件；,B,项：当,a,b,1,时，满足,a,b,1,，反之，由,a,b,1,不能推出,a,b,；,C,项：当,a,2,，,b,1,时，满足,a,2,b,2,，但,a,b,不成立；,D,项：,a,b,是,a,3,b,3,的充要条件，综上所述答案选,A.,答案：,A,2,(2011,湖南卷，,3),“,x,1,”,是,“,|,x,|,1,”,的,(,),A,充分不必要条件,B,必要不充分条件,C,充分必要条件,D,既不充分又不必要条件,解析：,当,x,1,时，,|,x,|1,，即,x,1,|,x,|1,，所以“,x,1”,是“,|,x,|1”,的充分条件，排除,B,，,D,；当,|,x,|1,时，则,x,1,或,x,1,，所以不一定会有,x,1,/,x,1,，所以“,x,1”,不是“,|,x,|1”,的必要条件，故选,A.,答案：,A,对充分条件与必要条件的判断，有的可以直接根据定义去判断，有的需要对条件和结论进行必要的化简或变形，再由定义去判断，也可以从集合的关系入手去判断,解题过程,1.,给出下列四组命题：,(1),p,：,x,2,0,；,q,：,(,x,2)(,x,3),0.,(2),p,：两个三角形相似；,q,：两个三角形全等,(3),p,：,m,2,；,q,：方程,x,2,x,m,0,无实根,(4),p,：一个四边形是矩形；,q,：四边形的对角线相等试分别指出,p,是,q,的什么条件,(12,分,),是否存在实数,p,，使,q,：,“,4,x,p,0,”,的充分条件？如果存在，求出,p,的取值范围,2.,已知,p,：,x,2,8,x,200,，,q,：,x,2,2,x,1,a,2,0.,若,p,是,q,的充分不必要条件，求正实数,a,的取值范围,解析：,p,：由,x,2,8,x,200,得,(,x,10)(,x,2)0,即,x,10,设,p,x,|,x,10,q,：由,x,2,2,x,1,a,2,0,得,x,(1,a,),x,(1,a,)0,当,a,0,时，,q,：,x,|,x,1,a,当,a,0,，,q,：,x,2,2,x,1,(,x,1),2,0,q,：,x,|,x,1,p,q,成立,综上，,a,的取值范围,3,a,3.,(2011,陕西卷，,12),设,n,N,，一元二次方程,x,2,4,x,n,0,有整数根的充要条件是,n,_.,答案：,3,或,4,解答本题首先应分清条件和结论，再证明充分性和必要性,3.,试证：一元二次方程,ax,2,bx,c,0,有一正根和一负根的充要条件是,ac,0.,所以方程,ax,2,bx,c,0,有两个相异实根，且两根异号,即方程,ax,2,bx,c,0,有一正根和一负根,1,充分条件：,“,若,p,则,q,”,为真命题，即,p,q,，则,p,是,q,的充分条件,2,必要条件：,“,若,q,则,p,”,为真命题，即,q,p,，则,p,是,q,的必要条件,3,充要条件：如果既有,p,q,，又有,q,p,，即,p,q,，则,p,是,q,的充分必要条件，简称充要条件，同时,q,也是,p,的充要条件，即,p,与,q,互为充要条件,1,定义法：判断,B,是,A,的什么条件，实际上就是判断,B,A,或,A,B,是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断,2,转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断,3,集合法：对命题的条件和结论间的关系进行判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记,p,、,q,对应的集合分别为,A,、,B,，则：,1,定义法：分别证明充分性和必要性两个方面在解题时要避免把充分性当必要性来证明的错误，这就需要先分清条件与结论，若从条件推出结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性,2,等价法：就是从条件,(,或结论,),开始，逐步推出结论,(,或条件,),，但要注意每步都是等价的，即反过来也能推出,注意,证明,“,充要条件,”,一般应分两个步骤，即分别证明,“,充分性,”,与,“,必要性,”,，但千万要注意,“,谁,”,是,“,谁,”,的充分条件，,“,谁,”,是,“,谁,”,的必要条件尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了一般地，证明,“,p,成立的充要条件为,q,”,时，在证充分性时应以,q,为,“,已知条件,”,，,p,是该步中要证明的,“,结论,”,，即,q,p,；证明必要性时则是以,p,为,“,已知条件,”,，即,p,q,.,判断下列各题中的条件是结论的什么条件,(1),条件,A,：,ax,2,ax,1,0,的解集为,R,，结论,B,：,0,a,4,；,(2),条件,p,：,A,B,，结论,q,：,A,B,B,.,【,错解,】,(1),a,2,4,a,0,，即,0,a,4,，,当,0,a,4,时，,ax,2,ax,1,0,恒成立，故,B,A,.,而,ax,2,ax,1,0,的解集为,R,时，有,0,a,4,，故,A,B,，,A,是,B,的充要条件,(2),A,B,A,B,B,，,p,q,，,而,A,B,B,时，有,A,B,，,B,A,.,p,是,q,的充要条件,【,错因,】,此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是,A,B,，还是,B,A,均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点如,(1),题中，往往根据一元二次不等式的解去考虑此题，而忽略了,a,0,时原不等式变为,1,0,这一绝对不等式的情况在,(2),题中同样容易忽略,A,B,这一特殊情况,
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