定积分的定义与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 定积分,6.1定积分的定义与性质,一 引入实例,1 曲边三角形的面积计算,因而将曲边三角形分成了n个小曲边梯形（第一个除外，因为第一个还是一个曲边三角形）。,【6-1-1】,X,Y,O,1,【6-1-2】,【6-1-3】,2 曲边梯形的面积计算,（1）,分割,：,（2）,近似计算,：,【6-1-4】,（3）,求和,：因而整个曲边梯形的面积就可近似计算为,（4）,取极限,：求S的准确值,【6-1-5】,3 变速直线运动的路程计算,直线运动的路程计算，若为匀速运动，则路程的计算为速度乘以时间即可，但若为变速运动，则不能这样计算，因为速度是在随时间的变化而变化，如,（1）分割：,（2）近似求和：,【6-1-6】,（3）取极限：,二 定积分的定义,1 定义：,【6-1-7】,因此按定义有：,前述引例中的问题均可变为定积分：,曲边三角形面积为：,曲边梯形面积为：,变速直线运动的路程为：,【6-1-8】,2 定义中应注意的问题,（1）有关概念：积分号、被积函数、积分变量、被积表达式、积分限、积分上下限、积分区间。,（2）定积分的结果是一个数，与不定积分不一样。,（3）定积分仅与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，即有：,因为将一个区间段分成无穷段不能保证每一小段都非常小，但每一小段都非常小则必须是无穷段，当然，若对区间采用平均划分，则两者是一样的，此时可以代替。,【6-1-9】,3 可积函数的几个结论,（1）可积函数一定有界；,（2）有限闭区间a,b上的连续函数一定可积；,（3）在有限区间a,b上只有有限个间断点的有界函数一定可积。,【6-1-10】,三 定积分的几何意义,1 若,f,(,x,)0，则为曲边梯形的面积，体现为正面积。,2 若,f,(,x,)0，则为曲边梯形的面积的相反数，体现为负面积。,3 若,f,(,x,)在a,b上有正有负，则为正负面积的代数和。,例：,教材例3即是引入例中第一个令b=1即可。,四 定积分的基本性质,1 性质1：线性运算性质,【6-1-11】,注：,此性质可以推广到更多的有限个函数上去。,2 性质2：定积分具有对区间的可加性,理解：在曲边梯形面积上来理解，一个曲边梯形可以分解为两个曲边梯形，且面积等于它们面积的合计。,【6-1-12】,3 性质3：不等式关系性质,理解：用第148页平面图形的面积来理解。,注：,此性质的结论常用作积分值的估计。如,【6-1-13】,证明：,因此有：,4 性质4：绝对值不等式,注,：可用定积分的几何意义进行理解，代数和与绝对值的和。,【6-1-14】,5 性质5：积分中值定理,（2）证明：,依闭区间上连续函数的性质中的介值定理有,【6-1-15】,（3）说明：,积分中值定理的几何意义：存在同底矩形，使其面积与曲边梯形的面积相等，如第149页图示。,本节作业：第186页第2（2，4，5），3（1，4，6）题,下一节,【6-1-16】,