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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一般地,对于,n,N*,有,二项定理,:,二项展开式中的二项式系数指的是哪些?共有多少个?,45,下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过观察,n,为特殊值时,二项式系数有什么特点?,计算,(,a+b,),n,展开式的二项式系数并填入下表,n,(,a+b,),n,展开式的二项式系数,1,2,3,4,5,6,1,6,15,20,15,6,1,1,5,10,10,5,1,1,4,6,4,1,1,3,3,1,1,2,1,1,1,对称性,详解九章算法,中记载的表,杨 辉,杨辉三角,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,1,)请看系数有没有明显的规律?,2,)上下两行有什么关系吗?,3,)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗,?,每行两端都是,1 C,n,0,=C,n,n,=1,从第二行起,每行除,1,以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,展开式的二项式系数依次是:,从函数角度看,可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是:,当 时,其图象是右图中的,7,个孤立点,(,1,)对称性,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴,:,(,2,)增减性与最大值,由于,:,所以 相对于 的增减情况由 决定,由,:,可知,当 时,,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。,因此,,当,n,为偶数时,,中间一项的二项式,系数,取得最大值;,当,n,为奇数时,,中间两项的二项式系数 、,相等,且同时取得最大值。,(,2,)增减性与最大值,(,3,)各二项式系数的和,在二项式定理中,令 ,则:,这就是说,,的展开式的各二项式系数的和等于,:,(,1,),一般地,展开式的二项式系数,有如下基本性质:,(,2,),(,4,),(,3,),当,n,为偶数时,最大,当,n,为奇数时,,=,且最大,(对称性),第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 1,第,5,行,1 5 1,第,6,行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,第,7,行,1 7 21 21 7 1,10,35,+,+,+,+,=,35,5,15,20,10,4,“,斜线和,”,=,1,2,5,第,5,行,1 5 10 10 5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,1 7 21 35 35 21 7 1,第,1,行,1 1,第,0,行,1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起,任一数都等于前两个数的和,,这就是著名的,斐波那契数列,,也称为兔子数列。,斐波那契,数,列,斐波那契,(,1170,1250),意大利商人兼,数学,家,他,的,著作算,盘书,中,首先引入阿拉伯,数,字,,将,“,十,进制,”,介,绍给欧,洲人,认识,,,对欧,洲的,数学发展,有深,远,的影,响,。,例,1,证明:在,(a+b),n,展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中,令 ,则:,已知,求,:(1),;,(2),;,(3),;,(4),变式,:,若将“只有第,10,项”改为“第,10,项”呢?,解,类型:求展开式中系数最大的项,方法,:,利用通项公式建立不等式组,变式练习:,在,(3,x,-,2,y,),20,的展开式中,求:,(1),二项式系数最大的项,;(2),系数绝对值最大的项,.,解,:(2),设系数绝对值最大的项是第,r+1,项,.,则,即,3(r+1)2(20-r),解得,2(21-,r,)3r,所以当,r=8,时,系数绝对值最大的项为,(1),二项式系数的三个性质,(2),数学思想:函数思想,a,单调性;,b,图象;,c,最值,.,小 结,2.,求证:,
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