高二数学选修生活中的优化问题举例

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 导数及其应用,人教,A,版数学,34生活中的优化问题举例,1知识与技能,了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用,2过程与方法,能利用导数求出某些特殊问题的最值,本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题,本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型,解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量,y,与自变量,x,，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式,y,f,(,x,)，根据实际问题确定,y,f,(,x,)的定义域,解应用题的思路和方法,解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：,(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；,(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；,(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；,(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案,注意：,实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数定义域是关键,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为,优化问题,例1在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,解析,设箱高为,x,cm，则箱底边长为(602,x,)cm，则得箱子容积,V,是,x,的函数，,V,(,x,)(602,x,),2,x,(0,x,30),4,x,3,240,x,2,3600,x,.,V,(,x,)12,x,2,480,x,3600，,令,V,(,x,)0，得,x,10，或,x,30(舍去),当0,x,0，,当10,x,30时，,V,(,x,)0.,当,x,10时，,V,(,x,)取极大值，这个极大值就是,V,(,x,)的最大值,V,(10)16000(cm,3,),答：,当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大，最大容积为16000cm,3,.,点评,在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较,已知矩形的两个顶点位于,x,轴上，另两个顶点位于抛物线,y,4,x,2,在,x,轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽,解析,如图所示，设出,AD,的长，进而求出,AB,，表示出面积,S,，然后利用导数求最值,设,AD,2,x,(0,x,2)，,则,AB,y,4,x,2,，,则矩形面积为,S,2,x,(4,x,2,)(0,x,2)，,即,S,8,x,2,x,3,，,例2将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？,点评该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的,已知圆柱的表面积为定值,S,，求当圆柱的容积,V,最大时圆柱的高,h,的值,例3某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为,x,(0,x,1)，则出厂价相应提高的比例为0.7,x,，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本),年销售量,解析,(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10,(1,x,)；出厂价为13,(10.7,x,)，年销售量为5000,(10.4,x,)因此本年度的年利润为：,p,13,(10.7,x,)10,(1,x,),5000,(10.4,x,)(30.9,x,),5000,(10.4,x,)1800,x,2,1500,x,15000(0,x,1),(1)写出该厂的日盈利额,T,(元)用日产量,x,(件)表示的函数关系式；,(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？,例4甲、乙两地相距,s,千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过,c,千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度,v,(千米/时)的平方成正比，比例系数为,b,；固定部分为,a,元,(1)把全程运输成本,y,(元)表示为速度,v,(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；,(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？,一、选择题,1三次函数当,x,1时，有极大值4；当,x,3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是(),A,y,x,3,6,x,2,9,x,B,y,x,3,6,x,2,9,x,C,y,x,3,6,x,2,9,x,D,y,x,3,6,x,2,9,x,答案,B,答案,A,解析,f,(,x,)3,x,2,3,b,3(,x,2,b,)，令,f,(,x,)0，即,x,2,b,0，,答案,D,答案,C,二、填空题,5面积为,S,的一切矩形中，其周长最小的是_,故面积为,S,的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形,6函数,f,(,x,),x,2,(2,x,)的单调递减区间是_,三、解答题,7用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？,令,V,(,x,)0得，,x,0(舍)或,x,80.,当,x,在(0,120)内变化时，导数,V,(,x,)的正负如下表：,答：,水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm,3,.,x,(0,80),80,(80,120),V,(,x,),0,