3.4基本不等式34562

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,了解基本不等式的证明过程。,会用基本不等式解决简单的最大（小）,值问题。,3.4,基本不等式,2002,年国际数学大会（,ICM-2002,）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的,“,弦图,”,。,它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。,一、问题引入,情景设置,新课探究,1,、正方形,ABCD,的,面积,S=,、四个直角三角,形的面积和,S,=,、,S,与,S,有什么样的不等关系？,S,S,即,问：那么它们有相等的情况吗？,(ab),新课探究,一般地，对于任意实数 ，我们有,当且仅当 时等号成立,思考：,如何证明？,证明：,当且仅当 时，此时,平方,当且仅当,a=b,时，取“,=”,号,能否用不等式的性质进行证明？,小组合作：教材,P98,填空,分析法,基本不等式的几何解释：,RtACDRtDCB,，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,OD,与,CD,的大小关系怎样,?OD_CD,几何意义：,半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,基本不等式的几何解释：,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,当且仅当,a=b,时取等号,2.,代数意义：,几何平均数小于等于算术平均数,2.,代数证明,:,3.,几何意义：,半弦长小于等于半径,（,当且仅当,a=b,时,，,等号成立,）,二,、,新课讲解,算术平均数,几何平均数,3.,几何证明,:,从数列角度看,:,两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.,思考,:,如果当 用 去替换,中的,能得到什么结论,?,基本不等式,探究,3,基本不等式：,当且仅当,a,=b,时，等号成立,.,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,重要不等式：,注意：,（,1,）不同点：两个不等式的,适用范围,不同。,（,2,）相同点：当且仅当,a=b,时，等号成立。,1.,重要不等式,2.,基本不等式（均值定理）,注意：,基本不等式成立的要素：,简言之：一正、二定、三相等,基本不等式作用：求最值,结论,1,：,两个正数积为定值，则和有最小值,结论,2,：,两个正数和为定值，则积有最大值,应用条件：一正、二定、三相等,=(,x,+1)+,-,1,1,x,+1,f,(,x,)=,x,+,1,x,+1,=1,2 (,x,+1),-,1,1,x,+1,当且仅当 取“,=”,号,.,当,x,=0,时,函数,f,(,x,),的最,小,值是,1.,x,+1=,即,x,=0,时,1,x,+1,解,:,x,-1,x,+10.,例,1.,求函数,f,(,x,)=,x,+,(,x,-1),的最小值,.,1,x,+1,方法总结：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式,.,例题讲解,已知,x,1,求,x,的最小值以及取得最小值时,x,的值。,解：,x,1 x,1,0,x,（,x,1,）,1,2,1,3,当且仅当,x,1,时取“”号,.,于是,x,2,或者,x,0,（舍去）,答：最小值是,3,，取得最小值时,x,的值为,2,你来试试？,构造积为定值,配凑系数,分析,:,x,+(1,-,2,x,),不是,常数,.,2,=1,为,解,:,0,x,0.,1,2,y,=,x,(1,-,2,x,)=,2,x,(1,-,2,x,),1,2,2,2,x,+(1,-,2,x,),2,1,2,1,8,=.,当且仅当,时,取“,=”,号,.,2,x,=,(1,-,2,x,),即,x,=,1,4,当,x,=,时,函数,y,=,x,(1,-,2,x,),的最大值是,.,1,4,1,8,例,2.,若,0,x,0,y0,且,x+y=1,求 的最小值,例题讲解,(1),基本不等式取等号的条件,(2)“1”,的代换在不等式中的应用,正确？,错,1.,已知,x,0,y,0,xy,=24,求,4,x,+6,y,的最小值，并说明此时,x,y,的值,4,已知,x,0,y,0,且,x,+2,y,=1,求,的最小值,2,已知,a,+,b,=4,求,y,=2,a,+2,b,的最小值,练习题：,当,x,=6,y,=4,时,最小值为,48,最小值为,8,3.,已知,x,0,，求函数 的最大值,.,例,2,（,1,）用篱笆围一个面积为,100,的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,（,2,）用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面,积最大？最大面积是多少？,解法一：,(2),设矩形菜园的宽为,x,m,，则长为,(36-2,x),m,，其中,0,x,18,解法二：,其面积为,:,当且仅当,2,x=36-,2,x,，即,x=,9,时菜园面积最大，,即菜园长,18m,，宽为,9 m,时菜园面积最大为,162 m,2,.,解：,【,例,3,】,某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,4800m,3,深为,3m,，如果池底每,1m,2,的造价为,150,元，池壁每,1m,2,的造价为,120,元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？,设水池底面一边的长度为,x,m,，则水池的宽为,水池的总造价为,y,元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边长为,40m,的正方形时，水池,的总造价最低，最低总造价是,297600,元,赵老师花,10,万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为,0.9,万元,年维修费第一年是,0.2,万元,以后逐年递增,0.2,万,.,则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少,?,综合应用,分析：,“,年平均费用,”,的含义？,解：设使用,x,年后，年平均费用为,y,万元，则,即当,x=10,时，,y,有最小值,3,万元,答：使用,10,年后，年平均费用最少。,变式训练,知识要点：,基本不等式的条件,:,结构特征,:,思想方法技巧：,（,1,）数形结合思想,（,2,）换元法,课堂总结,一正、二定、三相等,和、积,.,理解均值不等式的关系,:,