实际问题与一元二次方程（2）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,实际问题与一元二次方程（二）,复习：,列方程解应用题有哪些步骤,对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。,上一节，我们学习了解决,“,平均,增长,(,下降,),率问题,”,，现在，我们要学习解决,“,面积、体积问题,。,实际问题与一元二次方程（二）,面积、体积问题,一、复习引入,1,直角三角形的面积公式是什么？,一般三角形的面积公式是什么呢？,2,正方形的面积公式是什么呢？,长方形的面积公式又是什么？,3,梯形的面积公式是什么？,4,菱形的面积公式是什么？,5,平行四边形的面积公式是什么？,6,圆的面积公式是什么？,（二）几何问题,方法提示：,1),主要集中在几何图形的,面积,问题,这类问题的,面积公式,是等量关系；,如果图形不规则应,割,或,补,成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则,图形的面积公式列出方程,;,2),与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是,这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程。,巩固练习：,如图，一块长方形铁板，长是宽的,2,倍，如果在,4,个角上截去边长为,5cm,的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是,3000cm,，求铁板的长和宽。,复习一元二次方程,练习：（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图（,1,）所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖,2,条和,4,条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为,9600,，那么水渠应挖多宽？,162,64,（,2,）,分析：这类问题的特点是，挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边），如图（,2,）所示。那么剩余可耕的长方形土地的长为（,162-2x)m,宽为（,64-4x)m,解：设水渠的宽为,xm,列方程得：,（,162,2x,）（,64-4x)=9600,，解得,=1,，,=96,（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为,1m.,162,64,（,1,）,要设计一本书的封面,封面长,27,宽,21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度,?,27,21,分析,:,这本书的长宽之比是,9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为,9:7,解法一,:,设正中央的矩形两边分别为,9xcm,，,7xcm,依题意得,解得,故上下边衬的宽度为,:,左右边衬的宽度为,:,探究,3,要设计一本书的封面,封面长,27,宽,21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度,?,27,21,分析,:,这本书的长宽之比是,9:7,正中央的矩形两边之比也为,9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为,9:7,解法二,:,设上下边衬的宽为,9xcm,，左右边衬宽为,7xcm,依题意得,解方程得,(,以下同学们自己完成,),方程的哪个根合乎实际意义,?,为什么,?,例,1. (2004,年,镇江,),学校为了美化校园环境，在一块长,40,米、宽,20,米的长方形空地上计划新建一块长,9,米、宽,7,米的长方形花圃,.,（,1,）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多,1,平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案,.,（,2,）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加,2,平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由,.,解,: (1),方案,1,：长为 米，宽为,7,米,;,方案,2,：长为,16,米，宽为,4,米,;,方案,3,：长,=,宽,=8,米,;,注：本题方案有无数种,（,2,）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加,2,平方米,.,由题意得长方形长与宽的和为,16,米,.,设长方形花圃的长为,x,米，则宽为（,16-,x,）米,.,x,(16-,x,)=63+2,，,x,2,-16,x,+65=0,，,此方程无解,.,在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加,2,平方米,1,、用,20cm,长的铁丝能否折成面积为,30cm,2,的矩形,若能够,求它的长与宽,;,若不能,请说明理由,.,练习：,解,:,设这个矩形的长为,x,cm,则宽为,cm,即,x,2,-10x+30=0,这里,a=1,b=,10,c=30,此题无解,.,用,20cm,长的铁丝不能折成面积为,30cm,2,的矩形,.,例,2,：某校为了美化校园,准备在一块长,32,米,宽,20,米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案,(,如图,),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少,?,使图,(1),(2),的草坪面积为,540,米,2,.,补充例题与练习,(1),(2),(1),解,:(1),如图，设道路的宽为,x,米，则,化简得，,其中的,x=25,超出了原矩形的宽，应舍去,.,图,(1),中,道路的宽为,1,米,.,则横向的路面面积为,，,分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于,540,米,2,。,解法一、 如图，设道路的宽为,x,米，,32x,米,2,纵向的路面面积为,。,20x,米,2,注意：这两个面积的重叠部分是,x,2,米,2,所列的方程是不是,？,图中的道路面积不是,米,2,。,(2),而是从其中减去重叠部分，即应是,米,2,所以正确的方程是：,化简得，,其中的,x=50,超出了原矩形的长和宽，应舍去,.,取,x=2,时，道路总面积为：,=100 (,米,2,),草坪面积,=,= 540,（米,2,）,答：所求道路的宽为,2,米。,(2),解法二：,我们利用,“,图形经过移动，它的面积大小不会改变,”,的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,(2),(2),横向路面,，,如图，设路宽为,x,米，,32x,米,2,纵向路面面积为,。,20x,米,2,草坪矩形的长（横向）为,，,草坪矩形的宽（纵向）,。,相等关系是：草坪长,草坪宽,=540,米,2,(20-x),米,（,32-x),米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法,1,相同。,练习：,1.,如图是宽为,20,米,长为,32,米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路,(,两条纵向,一条横向,且互相垂直,),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为,570,平方米,问,:,道路宽为多少米,?,解,:,设道路宽为,x,米，,则,化简得，,其中的,x=35,超出了原矩形的宽，应舍去,.,答,:,道路的宽为,1,米,.,练习：,2.,如图,长方形,ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为,246m,2,求小路的宽度,.,A,B,C,D,解,:,设小路宽为,x,米，,则,化简得，,答,:,小路的宽为,3,米,.,补充例题与练习,例,3. (2003,年,舟山,),如图，有长为,24,米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度,a,为,10,米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽,AB,为,x,米，面积为,S,米,2,，,（,1,）求,S,与,x,的函数关系式,;,（,2,）如果要围成面积为,45,米,2,的花圃，,AB,的长是多少米？,【,解析,】(1),设宽,AB,为,x,米，,则,BC,为,(24-3x),米，这时面积,S=x(24-3x)=-3x,2,+24x,(2),由条件,-3x,2,+24x=45,化为：,x,2,-8x+15=0,解得,x,1,=5,，,x,2,=3,0,24-3x10,得,14/3x,8,x,2,不合题意，,AB=5,，即花圃的宽,AB,为,5,米,练习：,1.,如图，用长为,18m,的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃,.,要围成苗圃的面积为,81m,2,应该怎么设计,?,解,:,设苗圃的一边长为,xm,则,化简得，,答,:,应围成一个边长为,9,米的正方形,.,例,4,某林场计划修一条长,750m,，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为,1.6m,2,，上口宽比渠深多,2m,，渠底比渠深多,0.4m,（,1,）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？,（,2,）如果计划每天挖土,48m,3,，需要多少天才能把这条渠道挖完？,补充例题与练习,分析：,因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为,xm,，则上口宽为,x+2,，渠底为,x+0.4,，那么，根据梯形的面积公式便可建模,解：（,1,）设渠深为,xm,则渠底为（,x+0.4,）,m,，上口宽为（,x+2,）,m,依题意，得：,整理，得：,5x,2,+6x-8=0,解得：,x,1,=0.8m,，,x,2,=-2,（不合题意,舍去）,上口宽为,2.8m,，渠底为,1.2m,答：渠道的上口宽与渠底深各是,2.8m,和,1.2m,；,需要,25,天才能挖完渠道,1.,如图，宽为,50cm,的矩形图案由,10,个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为,【 】,A,400cm,2,B,500cm,2,C,600cm,2,D,4000cm,2,2.,在一幅长,80cm,，宽,50cm,的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是,5400cm2,，设金色纸边的宽为,x,cm,，那么,x,满足的方程是,【 】,A,x,2,+130,x,-1400=0 B,x,2,+65,x,-350=0,C,x,2,-130,x,-1400=0 D,x,2,-65,x,-350=0,3.,如图，面积为,30m,2,的正方形的四个角是面积为,2m,2,的小正方形，用计算器求得,a,的长为（保留,3,个有效数字）,【 】,A,2.70m B,2.66m C,2.65m D,2.60m,80cm,x,x,x,x,50cm,a,A,B,C,6,如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为,35m,，所围的面积为,150m,2,，则此长方形鸡场的长、宽分别为,_,练习：,5,如图的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度,封面,封底,（第,27,题）,26,cm,18.5,cm,图,2,图,1,（,1,）如图，数学课本长为,26 cm,，宽为,18.5 cm,，厚为,1 cm,小明用一张,1260 cm2,的矩形纸方法包好了这本书，展开后如图所示，求折叠进去的宽度；,（,2,）现有一本长为,19 cm,，宽为,16 cm,，厚为,6 cm,的字典你能用一张,41 cm,26 cm,的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于,3 cm,吗？请说明理由,封面,封底,（第,27,题）,26,cm,18.5,cm,图,2,图,1,练习：,6,、围绕长方形公园的栅栏长,280m.,已知该公园的面积为,4800m,2,.,求这个公园的长与宽,.,这里要特别注意,:,在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求,列一元二次方程解应用题的步骤与,列一元一次方程解应用题的步骤类似，,即审、设、列、解、检、答,小结,