【方法指导】导数在函数极值方面的误区

金太阳新课标资源网 导数在函数极值方面的误区.将“稳定点”等同于“极值点”定义1：可导函数的方程的根，称为函数的稳定点。定义2：设函数在区间有定义，若，且存在的某邻域，有，则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）。极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。对于“”只是它为“函数的极值点”的必要而不充分条件。即函数的极值点必然在函数的稳定点的集合之中，反之，不成立，即稳定点不一定是极值点。例3中的函数，它在上可导，由方程，解得唯一稳定点，从图像上看，显然点不是可导函数的极值点。例6.函数的极值点是 （ ）错解：导函数，令，解得，故答案应选C。剖析：这三点都是稳定点，那是不是极值点？存在极值点条件：导函数在稳定点的两侧有不同的符号，必是函数的极值点。显然导函数在两侧有相同的符号，不是函数的极值点。正解：由知，当时，当时，；当时，当时，故在上是单调递增函数；在上是单调递减函数。因此，只有为极小值点，而和不是极值点（实际上是函数的拐点），故应选D。例7.函数，当时，有极值，那么的值为 。误解：导函数，因为函数在处有极值，可得 ，解得 或因此 或 。剖析：上述解题忽略了一个细节，解题过程中只用到，和，这能说明它是极值点吗？当、时，函数在上是增函数，显然不是函数的极值点；验证当、时，是函数的极值点。故。.误把极值当最值例8.求函数在区间上的最值。误解：导函数，解得，或，经验证，和都是函数的极值点，即为极大值，为极小值，因此函数的最大值为，最小值为。剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误。对于上面所给出的定义可知，极值是一个局部概念，是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念，是在整个闭区间上的最值。在一个区间上可能有很多极大值（极小值），而且某些极大值还可能小于某些极小值，但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）。因此求函数闭区间上的最值，需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定。本题两端点值，所以函数的最大值为，最小值为。.把极值点的取值范围扩大例9.函数在区间上的极大值就是最大值，则的取值范围。误解：导函数，令，解得，经验证是函数的极值点，所以，解得，故的取值范围是。剖析：定义2，即极值定义，不难发现极值点在区间的内部（即不能是区间的端点），是函数的极值是与函数在的某个领域上的函数值比较而言。因此是函数的极大值点，有题意得，解得，故的取值范围是。第 3 页 共 3 页 金太阳新课标资源网