第2节-平面向量基本定理及其坐标表示

,高中总复习,一轮,理数,高中总复习,一轮,理数,第2节平面向量基本定理及其坐标表示,考纲展示,1.,了解平面向量的基本定理及其意义,.,2.,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,.,3.,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,.,4.,理解用坐标表示的平面向量共线的条件,.,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善,把散落的知识连起来,知识梳理,1.平面向量基本定理,如果,e,1,e,2,是同一平面内的两个,向量,那么对于这个平面内任意向量,a,有且只有一对实数,1,2,使,a,=,.,其中,不共线的向量,e,1,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,.,2.,平面向量的正交分解,把一个向量分解为两个,的向量,叫做把向量正交分解,.,不共线,1,e,1,+,2,e,2,互相垂直,单位向量,3.,平面向量的坐标表示,(1),在平面直角坐标系中,分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个,i,j,作为基底,对于平面内的一个向量,a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数,x,y,使得,a,=,xi+yj,这样,平面内的任一向量,a,都可由,x,y,唯一确定,我们把,叫做向量,a,的坐标,记作,其中,x,叫做,a,在,x,轴上的坐标,y,叫做,a,在,y,轴上的坐标,.,(,x,y,),a,=(,x,y,),(2)若A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则 =(x,2,-x,1,y,2,-y,1,).,4.,平面向量的坐标运算,(1),若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b,=,.,(2),若,a,=(,x,y,),则,a,=(,x,y,).,5.,向量共线的充要条件的坐标表示,若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b,.,(x,1,x,2,y,1,y,2,),x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,对点自测,1.已知,e,1,e,2,是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是(),(A),e,1,+,e,2,和,e,1,-,e,2,(B)3,e,1,-2,e,2,和4,e,2,-6,e,1,(C),e,1,+2,e,2,和,e,2,+2,e,1,(D),e,2,和,e,1,+,e,2,B,解析,:,因为,4,e,2,-6,e,1,=-2(3,e,1,-2,e,2,),所以,3,e,1,-2,e,2,与,4,e,2,-6,e,1,共线,又作为一组基底的两个向量一定不共线,所以它们不能作为一组基底,.,故选,B.,2.,若向量,a,=(2,3),b,=(-1,2),则,a,+,b,的坐标为,(,),(A)(1,5)(B)(1,1),(C)(3,1)(D)(3,5),A,解析:,因为向量,a,=(2,3),b,=(-1,2),所以,a,+,b,=(1,5).故选A.,3.,(2018,湖南省永州市一模,),已知,a,=(1,-1),b,=(1,0),c,=(1,-2),若,a,与,m,b,-,c,平行,则,m,等于,(,),(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3,A,解析,:,由题,m,b,-,c,=(m-1,2),又因为,a,与,m,b,-,c,平行,所以,12=-(m-1),m=-1,故选,A.,4.设,e,1,e,2,是平面内一组基向量,且,a,=,e,1,+2,e,2,b,=-,e,1,+,e,2,则向量,e,1,+,e,2,可以表示为另一组基向量,a,b,的线性组合,即,e,1,+,e,2,=,a,+,b,.,答案,:,考点专项突破,在讲练中理解知识,考点一平面向量基本定理及其应用,答案,:,(1)D,答案,:,(2)6,(1),应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,.,(2),用平面向量基本定理解决问题的一般思路是,:,先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决,.,反思归纳,答案,:,(1)1,答案,:,(2)-3,考点二平面向量的坐标运算,【,例,2】,(1),已知向量,a,=(5,2),b,=(-4,-3),c,=(,x,y,),若,3,a,-2,b,+,c,=,0,则,c,等于,(,),(A)(-23,-12)(B)(23,12),(C)(7,0)(D)(-7,0),解析,:,(1)3,a,-2,b,+,c,=(23+x,12+y)=,0,故,x=-23,y=-12,故选,A.,反思归纳,(1),向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标,.,(2),解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程,(,组,),来进行求解,.,(2),设向量,a,=(1,-3),b,=(-2,4),c,=(-1,-2),若表示向量,4,a,4,b,-2,c,2(,a,-,c,),d,的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量,d,等于,(,),(A)(2,6)(B)(-2,6),(C)(2,-6)(D)(-2,-6),解析,:,(2),设,d,=(,x,y,),由题意知,4,a,+(4,b,-2,c,)+2(,a,-,c,)+,d,=,0,所以,(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得,x=-2,y=-6,所以,d,=(-2,-6).,故选,D.,答案,:,(1)C,(2),(2018,全国,卷,),已知向量,a,=(1,2),b,=(2,-2),c,=(1,).,若,c(2,a,+,b,),则,=,.,思考探究,:,若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b,的充要条件是什么,?,答,:,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0.,【,跟踪训练,3】,(1),(2018,湖北襄阳模拟,),设向量,a,=(m,2),b,=(1,m+1),且,a,与,b,的方向相反,则实数,m,的值为,(,),(A)-2,(B)1,(C)-2,或,1 (D)m,的值不存在,解析,:,(1),向量,a,=(m,2),b,=(1,m+1),因为,a,b,所以,m(m+1)=21,解得,m=-2,或,1.,当,m=1,时,a,=(1,2),b,=(1,2),a,与,b,的方向相同,舍去,;,当,m=-2,时,a,=(-2,2),b,=(1,-1),a,与,b,的方向相反,符合题意,.,故选,A.,备选例题,【,例,1】,已知向量,a,=(2,1),b,=(1,-2).,若,m,a,+n,b,=(9,-8)(m,n,R,),则,m-n,的值为,.,答案,:,-3,【,例,2】,设向量,a,=(3,3),b,=(1,-1).,若,(,a,+,b,)(,a,-,b,),则实数,=,.,答案,:,3,点击进入 应用能力提升,