轨迹问题求法(专题)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,轨迹方程问题,轨迹方程的求法,求平面上的动点的轨迹方程是高考考查的重点内容之一,.,由于动点运动规律千差万别,因此求动点轨迹方程的方法也多种多样,今天我们介绍几种常用的方法。,直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程,.,这种方法叫直接法,.,1,、直接法,练习,1,：,动点,P,到直线,x,y=6,的距离的平方等于由两坐标轴及点,P,到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积,求,P,的轨迹方程,.,解：设动点,P,（,x,，,y,）,则,S=|xy|,点,P,到直线,x,十,y=6,的距离,故,P,点的轨迹方程为,：,即：（,x+y-6,）,2,=2|xy|,当,xy,0,时，方程为,(x-6),2,+(y-6),2,=36,当,xy,0,时，方程为,x,2,+4xy+y,2,-12x-21y+36=0,练习,1:,若动圆与圆外切且与直线,x,=2,相切,则动圆圆心的轨迹方程是,( ),（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,A,）,B,2,、定义法,:,若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义,(,如椭圆、双曲线、抛物线、圆等,),可用定义直接探求，这种方法叫,定义法,在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围,练习,2,：,已知椭圆的焦点是,F,1,、,F,2,，,P,是椭圆上的一个动点,如果延长,F,1,P,到,Q,使得,|,PQ,|=|,PF,2,|,那么动点,Q,的轨迹是,( ),A.,圆,B.,椭圆,C.,双曲线的一支,D.,抛物线,A,练习,3,：如图,在,ABC,中边,BC=a,若三内角满足,sinC,sinB,=,sinA,求点,A,的轨迹方程。,A,C,B,解,:,以,BC,所在的直线为,x,轴,BC,中点为坐标原点,建立如,图所示的直角坐标系,则,B,(,一,a,0,),C,(,a,0),设,A,(,x,y,),则,即,|AB|-|AC|= a,（定值,）,由,sinC,sinB,=,sinA,由双曲线定义知轨迹方程为,：,3,、相关点法（代入法,）,若动点,M,（,x,，,y,）依赖已知曲线上的动点,N,而运动，则用动点,M,的坐标,（,x,，,y,）,表示相关点,N,的坐标， 然后将转化后的动点,N,的坐标代入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点,M,的轨迹方程，此法称为,相关点法,或,代入法,，一般用于两个或两个以上动点的情况。,例,3,、连接定点,A(0,4),与双曲线,上任一点,Q,，点,P,在线段,AQ,上，且分线段,AQ,成,1,：,2,，求点,P,的轨迹。,考向三相关点法求轨迹方程,审题视点,设出,P,点的坐标,(,x,，,y,),后，直接找,x,，,y,的关系式不好求，故寻求其他变量建立,x,，,y,之间的联系,解：设,Q,(,x,l,y,1,),P,（,x,y,),由题设知,Q,（,x,1,，,y,1,）在双曲线上：,即,:,这就是所求点,P,的轨迹方程。,已知抛物线,定点,A,(3,1),B,为抛物线上任意一点,点,P,在线段,AB,上且有,BP,:,PA,=1:2,当点,B,在抛物线上变动时,求点,P,的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线,练习：,解：设,又点,B,在抛物线,上,其坐标适合抛物线方程，,整理得点,P,的轨迹方程为,:,所以其轨迹为抛物线,由题设，,P,分线段,AB,的比得,解得,（,x-3,，,y-1,）,= 2(,x,1,-x,y,1,-y,）,例,4,、,已知线段,AB,的长为,a,P,分,AB,为,APPB= 2l,两部分,当,A,点在,y,轴上运动时,B,点在,x,轴上运动,求动点,P,的轨迹方程。,解法一：设点,P(x,y),A(0,y,),B(x, 0),由,APPB= 2l,得,(x-0,y-y) = 2(x- x, 0-y),解法二：设动点,P(x,y),AB,和,x,轴的夹角为,|,|,，作,PM,x,于,M, PN,y,轴于,N,|AB|= a,|AP|=,a, |PB|=,a,动点,P,的参数方程为,即,：,O,A,B,P,M,N,4,、参数法,若动点,P,(,x,y,),的坐标,x,与,y,之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出,x,、,y,关于另一变量的参数方程,再化为普通方程,例,5,、椭圆与双曲线有共同的焦点,F1(,一,4,0),F2(4,0),且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的,2,倍,求椭圆与双曲线交点的轨迹。,解：设双曲线的实半轴长为,a,（,2a4,），,则椭圆长半轴长为,2a,，,由半焦距为,4,，,得,解得,代入得,a,2,=2|x|,（,1,）,（,2,）,当,x,0,时得（,x 5,）,2,y,2,=9,当,x,0,时得（,x,5,）,2,y,2,=9,由,2,a,4,，,知,2,|x|,8,故所求轨迹为半径为,3,分别以,(,5,0,),及,(,5,0,）,圆心的两个圆。,5,、交轨法,一般用于求二动曲线交点的轨迹方程,.,其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程,总结：,以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法,如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程,.,但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围,作业： 已知两点 以及一条直线,l,：,y,=,x,设长为 的线段,AB,在直线,l,上移动,求直线,PA,和,QB,交点,M,的轨迹方程,解：,PA,和,QB,的交点,M,（,x,，,y,）随,A,、,B,的移动而变化，故可设,则,PA,：,QB,：,消去,t,，得,当,t,=,2,，或,t,=,1,时，,PA,与,QB,的交点坐标也满足上式，所以点,M,的轨迹方程是,