教育专题：112余弦定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.2,余弦定理,（,1,）,b,20,，,A,60,，,a,20,3,，求,B;,（,2,）,b,20,，,A,60,，,a,15,，求,B.,60,A,B,C,b,在,ABC,中，已知,b,20,，,A,60,，,思考,：当,b,20,，,A,60,，,a,？时，,有,1,解、,2,解、无解,.,（,1,）,b,20,，,A,60,，,a,20,3,sinB,，,b,sinA,a,1,2,B,30,或,150,，,150,60,180,，,B,150,应舍去,.,（,2,）,b,20,，,A,60,，,a,15.,2,3,3,1,，,无解,.,sinB,，,b,sinA,a,2,3,3,思考,：当,b,20,，,A,60,，,a,？时，求角,B,有,1,解、,2,解、无解,.,60,0,A,B,C,20,B,B,B,解,:,过,A,作,BC,边上的高,AD,则,AD=4sin60,0,CD=4cos60,0,BD=3,4cos60,0,AB,2,=AD,2,+BD,2,=(4sin60,0,),2,+(3,4 cos60,0,),2,=4,2,+3,2,234cos60,0,AB=,已知,C=60,0,AC=4,BC=3,求,AB.,A,B,C,D,猜想：,AB,=AC,+BC,2AC,BCcosC,对任意三角形是否成立？,证明：在三角形,ABC,中，,AB,、,BC,、,CA,的长分别为,c,a,b.,A,B,C,C,点的坐标为,(),x,y,B(c,0),C,b,c,如图，以点,A,为原点，边,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,A,a,(0,0),a,2,=b,2,+,c,2,2bccosA,b,2,=a,2,+c,2,2accosB,c,2,=a,2,+b,2,2abcosC,余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,cosA,=,cosB,=,cosC,=,余弦定理推论：,（,1,）若,A,为直角，则,a,=b+c,（,2,）若,A,为锐角，则,ab+c,由,a,2,=b,2,+,c,2,2bccosA,可得,A,a,B,C,b,c,A,c,b,A,b,c,利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：,（,1,）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；,（,2,）已知三边，求三个角。,例,.,已知,b=8,c=3,A=60,0,求,a.,a,2,=b,2,+c,2,2bccosA,=64+9283cos60,0,=49,4.,定理的应用,解：,a=7,变式,练习：,1.,已知,:a=7,b=8,c=3,求,A.,2.,已知,:a=7,b=8,c=3,试判断,此三角形的形状,.,例,3,：在,ABC,中，已知,b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形（角度精确到,1,，边长精确到,1cm,）,.,解：根据余弦定理，,a,=b+c,2bccosA,=60+34,2,6034 cos411676.82,所以,a41(cm),由正弦定理得，,因为,c,不是三角形中最大的边，所以,C,是锐角，利用计算器得,C33,B=180,（,A+C,）,=180,（,41,33,）,106,例,4,，在,ABC,中，已知,a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到,1,）。,解：由余弦定理的推论得：,A5620;,B3253,C=180,（,A+B,）,180,（,5620,3253,）,9047,四类解三角形问题：,（,1,）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；,（,2,）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。,（,3,）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；,（,4,）已知三边，求三个角。,选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连续自然数，求该三角形的三边长。,必做题：等腰三角形的底边长为,a,，腰长为,2a,求腰上的中线长。,（,2,）若,A,B,C,是,ABC,的三个内角，则,sinA+sinB_sinC,.,A.b,/a,B.a/b,C.a/c,D.c,/a,（,1,）若三角形的三个角的比是,1,：,2,：,3,，最大的边是,20,，则最小的边是,_.,二,.,三种证明方法的比较：,几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三,角形求证（化一般为特殊）,解析法：通过建立直角坐标系，把几何问题用代数的方,法解决（几何问题代数化）,向量法：通过向量的知识来证明。,回顾与小结,一、余弦定理：,作业：习题,6,、,9,