【教学课件】第四章数字特征

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 数字特征,理解数学期望概念，掌握它的性质与计算。,理解方差概念，掌握它的性质与计算。,掌握（,0,1,）分布，二项分布，泊松分布，正态,正态分布，指数分布的数学期望与方差。,掌握协方差、相关系数的概念及计算。,了解矩、协方差矩阵的概念。,第四章 数字特征,第二节 方差,一、方差的概念,二、方差的性质,三、,常用随机变量的期望和方差,如有两批钢筋,每批各10根,它们的抗拉强度指标如下:,第一批:110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,第二批:90 100 120 125 130 130 135 140 145 145,它们的平均抗拉强度指标都是126,但是,使用钢筋时,一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115).那么,第二批钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大,即取值较分散,不合格的多,可以认为第二批比第一批质量差.,一、方差的概念,可见在实际问题中,仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征,还必须研究期离散程度.通常人们关心的是随机变量X对期望值E(X)的离散程度.,定义1,如果随机变量X的数学期望E(X)存在,称X-E(X)为随机变量的离差.,显然,随机变量离差的期望是零,即 EX-E(X)=0,不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散程度大,为了消除离差X-E(X)的符号,用(X-E(X),2,来衡量X与E(X)的偏差.,定义2,设X是一个随机变量,若EX-E(X),2,存在,则称EX-E(X),2,为X的,方差,记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X),2,.(1)在应用上还引入与随机变量X具有相同量纲的量,称为,标准差,或,均方差,.,由定义知,方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=(X-E(X),2,的数学期望.于是对于离散型随机变量,有,其中PX=x,k,=p,k,k=1,2,.是X的分布律.,对于连续型随机变量,有,其中f(x)是X的概率密度.,随机变量X的方差可按下列公式计算:D(X)=E(X,2,)-E(X),2,.(4)证 由数学期望的,性质(1),(2),(3),得D(X)=EX-E(X),2,=EX,2,-2XE(X)+E(X),2,=E(X,2,)-2E(X)E(X)+E(X),2,=E(X,2,)-E(X),2,.,在按公式D(X)=E(X,2,)-E(X),2,计算方差时,E(X)还是按通常的办法计算,而关键是计算E(X,2,).当X是离散型随机变量时:,其中PX=x,k,=p,k,k=1,2,.是X的分布律.对于连续型随机变量,有,其中f(x)是X的概率密度.,二、方差的性质,(1)设C是常数,则D(C)=0.(2)设X是随机变量,C是常数,D(CX)=C,2,D(X).(3)对任意两个随机变量X,Y,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)(2.5)特别,若X,Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)(2.6)(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,PX=C=1.,证,(4)证略.下面证明(1),(2),(3)(1)D(C)=EC-E(C),2,=0(2)D(CX)=ECX-E(CX),2,=C,2,EX-E(X),2,=C,2,D(X).(3)D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y),2,=EX-E(X),2,+EY-E(Y),2,+2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y).如X,Y相互独立,则X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,则EX-E(X)Y-E(Y)=EX-E(X)EY-E(Y)=0,两相互独立的随机变量X、Y的分布如下面两表所示,计算D(X-Y)。,X,9,10,11,P,0.3,0.5,0.2,Y,6,7,P,0.4,0.6,解 EX=9,0.3+100.5+110.2=9.9,EY=60.4+70.6=6.6,EX,2,=,81,0.3+1000.5+1210.2=98.5,DX=EX,2,-(EX),2,=98.5-98.01=0.49,EY,2,=6,2,0.4+7,2,0.6=43.8,DY=EY,2,-(EY),2,=43.8-43.56=0.24,D(X-Y)=DX+DY=0.49+0.24=0.73,例1,若连续型随机变量的概率密度是,例2,也即从,求E和D.,解:因(x)是偶函数,因此E=0,则D=E,2,-(E),2,=E,2,因此有,令,则上式=,即D=1/2=0.5,例3,三、常用随机变量的期望和方差,(一)、,常用离散型随机变量的期望和方差,1、两点分布的期望和方差,设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为PX=0=1-p,PX=1=p.,则 E(X)=0,(1-p)+1,p=p,E(X,2,)=0,2,(1-p)+1,2,p=p,D(X)=E(X,2,)-E(X),2,=p-p,2,=p(1-p)=pq,2、二项分布的期望和方差,设Xb(n,p),由二项分布的定义知,随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p.引入随机变量,易知 X=X,1,+X,2,+.+X,n,(1)由于X,k,只依赖于第k次试验,而各次试验相互独立,于是X,1,X,2,.,X,n,相互独立.,又知X,k,k=1,2,.,n服从同一(0-1)分布:,(1)式表明以n,p为参数的二项分布变量,可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和.,由E(X,k,)=p,D(X,k,)=p(1-p),k=1,2,.,n,则,又由于X,1,X,2,.,X,n,相互独立,得,即E(X)=np,D(X)=np(1-p),3、泊松分布的期望和方差,设X服从参数为的泊松分布，其分布律为,则,E(X,2,)=EX(X-1)+X=EX(X-1)+E(X),=,l,2,e,-,l,e,l,+,l,=,l,2,+,l,.所以,E,(,X,)=,l，,D,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,(,X,),2,=,l,(二),、正态分布的期望和方差,设,X,N,(,m,s,2,),求,E,(,X,),D,(,X,).,解 先求标准正态变量,的数学期望和方差,Z,的概率密度为,因,X,=,m,+,s,Z,即得,E,(,X,)=,E,(,m,+,s,Z,)=,m,D,(,X,)=,D,(,m,+,s,Z,)=,E,m,+,s,Z,-,E,(,m,+,s,Z,),2,=,E,(,s,2,Z,2,)=,s,2,E,(,Z,2,)=,s,2,D,(,Z,)=,s,2,.,这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数,m,和,s,分别就是数学期望和方差.,若,X,i,N,(,m,i,s,i,2,),i,=1,2,.,n,且它们相互独立,则它们的线性组合:,C,1,X,1,+,C,2,X,2,+.+,C,n,X,n,(,C,1,C,2,.,C,n,)是不全为0的常数)仍然服从,正态分布,于是由数学期望和方差的性质知道,:,例如,若,X,N,(1,3),Y,N,(2,4),且,X,Y,相互独立,则,Z,=2,X,-3,Y,也服从正态分布,而,E,(,Z,)=2,1,-,32,=-,4,D,(,Z,)=223+324=48.,故有,Z,N,(,-,4,48).,(三)、,其他常用连续型随机变量的期望和方差,1.,均匀分布的期望和方差,设,X,U,(,a,b,),其概率密度为,X,的数学期望为,即数学期望位于区间(,a,b,)的中点.,2、,指数分布的期望和方差,设随机变量,X,参数为服从指数分布,其概率密度为,则,于是 D(X)=E(X,2,)-E(X),2,=,.,x,1,1,-,1,解,解 已知,EX,=,DX,=,l,且,EX,2,=(,EX,),2,+,DX,=,l,2,+,l,而,E,(,X,-,1)(,X,-,2)=,E,(,X,2,-,3,X,+2),=,EX,2,-,3,EX,+2=1,得,l,2,+,l,-,3,l,+2=1,即,l,2,-,2,l,+1=0,有,l,=1,2、设随机变量,X,服从参数为,l,的泊松分布,且已知,E,(,X,-,1)(,X,-,2)=1,则,l,=_,3、,设随机变量,X,ij,(,i,j,=1,2,.,n,;,n,2)独立同分布,EX,ij,=2,则行列式,解 因多个随机变量之和的数学期望是各个数学期望之和,而多个相互独立的随机变量之积的数学期望也是各个随机变量的数学期望之积,而行列式无非是各个随机变量相互乘积再相加得到的随机变量.因此有,4、设随机变量,X,在区间-1,2上服从均匀分布;随机变量,-1,2,x,解,5、设一次试验成功的概率为,p,进行100次独立重复试验,当,p,=_时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为_,解 设成功次数为,X,则,X,B,(100,p,),DX,=100,p,(1,-,p,)=100,p,-,100,p,2,对,p,求导并令其为0,得,100,-,200,p,=0,得,p,=0.5时成功的标准差的值最大,其最大值为,