《平面及其方程》PPT课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.4,平面及其方程,6.4.,1,平面方程,两平面间的夹角,6.4.3,点到平面的距离,一个平面的法向量有无穷多个,它们之间都是相互平行的,平面方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,设平面,的一个法向量,且平面过点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,).,下面建立平面有,的方程,1,平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面,上任一点,M,(,x,y,z,)的坐标都满足上面的,方程,而当点,M,(,x,y,z,)不,在平面,上时,点,M,(,x,y,z,)的坐标不满足该,方程,设,M,(,x,y,z,)是平面,上的任一点,(6.15),例,1,设一平面过点,M,0,(1,0,2),平面的法向量为,求此平面方程.,解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为,即,2,平面的一般方程,由平面的点法式方程,反之，三元一次方程,表示一平面。,这是因为：,以上两式相减,得平面的点法式方程,为,平面的一般,方程,.,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程,与此点法式方程等价,的平面,此方程称,因此方程,的,图形是,法向量为,平面方程的几种特殊情况：,(1),D,=0,平面通过坐标原点；,(2),A,=0,平面平行于,x,轴；,(3),A,=,B,=0,平面平行于,xoy,面或垂直于,z,轴；,(4),A,=,D,=0,平面通过,x,轴.,Ax,+,By,+,Cz,=0,By,+,Cz,+,D,=0,Cz,+,D,=0,By,+,Cz,=0,解,所求平面方程为,化简得,例,2,求过三点,的平面方程.,取,-6(,x,-1)-3(,y,-0)+3(,z,+1)=0,2,x+,3,y-,3,z-,3=0.,例3,一平面过两个点,M,1,(1,-5,1),及,M,2,(3,2,-2,),且平行于,y,轴,求其方程.,解,由于所求平面,与,y,轴平行,故其方程的,形式,设为,Ax+Cz+D=,0,因为点,M,1,和,M,2,都在,上,其坐标,应当满足的方程,将这两个点的坐标代入到这个方,方程中,得到,A,+,C,+,D,=0,3,A,-2,C,+,D,=0,解这个方程组,得,将这个结果代入到平面方程中,得,3,x+,2,z,-,5,=0.,3,平面的截距式方程,设平面为,将三点坐标代入得,将,代入所设方程得,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,6.4.2,两平面间的夹角,设,由两向量夹角余弦公式有,特殊的：,/,例,4,解 由两平面夹角的余弦公式得,求两平面,x,-4,y,+,z,-2=0,与,2,x,-2,y,-,z,-5=0,的夹角.,6.4.3,点到平面的距离,设,P,0,(,x,0,y,0,z,0,)是平面,Ax,+,By,+,Cz,+,D,=0外一点,求,P,0,到平面的距离.,在平面上任取,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),则,于是得到点到平面距离公式,由于,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),在平面上,故,Ax,1,+,By,1,+,Cz,1,+,D,=0,A,(,x,1,x,0,)+,B,(,y,1,y,0,),+,C,(,z,1,z,0,),=Ax,1,+,By,1,+,Cz,1,A,x,0,By,0,Cz,0,=,A,x,0,By,0,Cz,0,D,例,5,求点,P,0,(,-,1,2,3),到平面,x+,2,y,-,2,z,-,6=0,的距离.,解,由点到平面的距离公式得,=3,练习,1,练习,2,求通过,x,轴和点,的平面方程.,练习,3,练习,4,练习,5,求平行于平面,0,5,6,6,=,+,+,+,z,y,x,而与三个坐,标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,练习,1,练习,2,求通过,轴和点,的平面方程.,解,由于平面通过,轴，从而它的法线向量垂直,于是法线向量在,轴上的投影为零，,又由平面通过,轴，它必须通过原点，,因此可设这平面的方程为,代入所设方程并除以,得所求方程为,由平面过点(6,3,2)知,练习,3,设平面为,由平面过原点知,D,=0,所求平面方程为,解,于是,练习,4,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,化简得,令,所求平面方程为,代入体积,于是,练习,5,解,设所求平面得一个法线向量为,又因所求的平面垂直于已知平面,所以有,由平面的,点法式方程,可知，所求平面方程为,得,所以，所求的平面方程为：,