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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,经过线段,中点,并且,垂直,于这条线段的直线，叫做这条线段的,垂直平分线,。,垂直平分线,:,图形轴对称的性质,:,如果两个图形关于某条直线对称，那么,对称轴,是任何一对,对应点所连线段,的垂直平分线。,类似地，轴对称图形的,对称轴,，是任何一对,对应点所连线段,的垂直平分线。,线段,垂直平分线,上的,点,与这条线段两个,端点,的距离相等。,线段垂直平分线的性质,:,证明,:,直线,MNAB,于,C,且,AC=CB,，,点,P,在,MN,上,.,题设：,A,B,P,M,N,C,线段,垂直平分线,上的,点,与这条线段两个,端点,的距离相等。,一、线段垂直平分线的性质,:,结论：,PA=PB,求证：,已知：,直线,MNAB,于,C,，,AC=CB,，点,P,在,MN,上,PA=PB,一、线段垂直平分线的性质,:,数学表达：,直线,MN,垂直平分,AB,，点,P,在,MN,上,PA=PB,A,B,P,M,N,C,也可以说：,P,是线段,AB,垂直平分线上的点，,PA=PB,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,还可以说：,依据是：,证明,:,线段,垂直平分线,上的,点,与这条线段两个,端点,的距离相等。,O,A,B,P,如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒,中央的孔,射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒,垂直,呢？为什么？,O,A,B,P,PA,PB,如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒,中央的孔,射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒,垂直,呢？为什么？,O,A,B,P,PA,PB,如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒,中央的孔,射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒,垂直,呢？为什么？,O,A,B,P,PA,PB,如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒,中央的孔,射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒,垂直,呢？为什么？,如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒,中央的孔,射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒,垂直,呢？为什么？,O,A,B,P,答：当,PA=PB,时，射出的箭的方向与木棒垂直,二、线段垂直平分线的判定,:,与一条线段两个,端点,距离相等的,点,，在这条线段的,垂直平分线,上。,二、线段垂直平分线的判定,:,与一条线段两个,端点,距离相等的,点,，在这条线段的,垂直平分线,上。,证明,:,题设,:,CA=CB,结论,:,C,在,AB,的垂直平分线上,已知,:,求证,:,证明,:,过,C,作,COAB,于,O,则,AOC=BOC=90,在,RtAOC,和,Rt BOC,中，,AC=BC,OC=OC,RtAOC Rt BOC,（,HL,）,OA=OB,又,CO,AB,于,O,C,在,AB,的垂直平分线上,已知,:,如图,AC=AD,，,BC=BD,，,求证：,AB,垂直平分,CD,。,AC=AD,点,A,在,CD,的垂直平分线上（,）,证明,:,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,同理，,BC=BD,点,B,在,CD,的垂直平分线上,AB,垂直平分,CD,（两点确定一条直线）,与一条线段两个,端点,距离相等的,点,，在这条线段的,垂直平分线,上。,一、线段垂直平分线的性质定理：,PA=PB,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,线段,垂直平分线,上的,点,与这条线段两个,端点,的距离相等。,二、线段垂直平分线的判定性质,:,三、关系：互逆,线段的,垂直平分线,可以看作是和线段两端点距离相等的所有点的,集合,。,四、线段的垂直平分线的集合定义：,如图，,ABC,中，边,AB,、,BC,的垂直平分线交于点,P,。,结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。,（,2,）点,P,是否也在边,AC,的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？,（,1,）求证：,PA=PB=PC,。,证明,:,点,P,在,AB,的垂直平分线上,PA=PB,（,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等,）,同理，,点,P,在,BC,的垂直平分线上,PB=PC,PA=PB=PC,PA=PC,点,P,在,AC,的垂直平分线上（,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）,解,:,已知：如图，,ABC,中，,AC=16cm,，,DE,为,AB,的垂直平分线，,BCE,的周长为,26cm,，求,BC,的长。,做一做,解,:,DE,是,AB,的垂直平分线,EA=EB(,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）,BCE,周长,=CE+EB+BC,又,AC=CE+EA=CE+EB,BC=,BCE,周长,-(CE+EB),=,BCE,周长,-AC,=10cm,解,:,做一做,已知：如图，,P,为,MON,内一点，,OMPA,于,E,，,ONPB,于,F,，,EA=EP,，,FB=FP,，若,AB,长为,15cm,，求,PCD,的周长。,OMPA,于,E,，,EA=EP,，点,C,在,OM,上，,CA=CP(,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）,同理，,ONPB,于,F,，,FB=FP,，点,D,在,ON,上，,DB=DP,PCD,周长,=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB,又,AB=15cm,PCD,周长,=15cm,
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