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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、定积分的元素法,二、平面图形的面积,第七节 定积分的几何应用,三、旋转体的体积,四、平行截面面积已知的,立体的体积,五、小结,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的元素法,a,b,x,y,o,面积表示为定积分的步骤如下,（,3,）求和，得,A,的近似值,（,4,）求极限，得,A,的精确值,a,b,x,y,o,提示,面积元素,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做,元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,，,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积,表达式。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,第二步：写出面积,表达式。,如何用元素法分析？,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,x,y,o,x,y,o,观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：,考虑选择,x,为积分变量，如何分析面积表达式？,x,y,o,x,y,o,观察下列图形，选择合适的积分变量：,考虑选择,y,为积分变量，如何分析面积表达式？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,旋转体,就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,三、旋转体的体积,(volume of body),（,1,）,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,(volume of body),（,3,）,（,2,）,x,y,o,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,0,1,x,y,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,.,立体体积,四、平行截面面积已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,五、小结,定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积,思考题,1,思考题,1,解答,x,y,o,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,曲线,y,=,f,(,x,),及直线,y,=,kx,+,b,所围成的曲边,梯形,求,D,绕直,线,y,=,kx,+,b,旋转所成立体的体积,.,上有连续导数,D,为,思考题,2,如右图示,L,：,N,T,M,y,=,f,(,x,),dl,D,曲线在,M,点处的切线,MT,为：,思考题,2,解答,应用定积分的元素法，考虑子区间,x,x,+,dx,.,设相,应于,x,x,+,d,x,的曲线弧段在直线,L,上的投影长为,dl,则当子区间的长充分小时,取切线,MT,上对应于右,端点,x,+,d,x,的点 到垂线,的,距离为,d,l,则,而,M,点到直线,L,的距离为,从而得,所以曲边梯形,D,绕直线,L,旋转所成立体体积为,思考题,3,思考题,3,解答,交点,立体体积,练 习 题,！,练习题答案,
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