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*,1,曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹,.,曲面方程的定义：,8.3,空间曲面和曲线,8.3.1,空间曲面方程,(2),不在曲面上的点的坐标都不满足方程；,(1),曲面上任一点的坐标都满足方程；,如果曲面 与三元方程 有下述关系：,而曲面,S,称为方程的图形,.,那么,方程 就称为曲面,S,的方程,解,由题意，有,所求方程为,特别地,球心在原点的球面方程为,即,设 是球面上任一点，,例,1,建立球心在点,半径为,R,的球面方程,.,球面的一般方程为,经配方,可化为球面的标准方程,.,例如,配方后得,例如,与,分别表示上、下半球面,.,定义,绕其平面上的,一条直线,这条定直线叫旋转曲面的,轴,.,此曲线称,母线,.,称为,旋转曲面,.,旋转一周所成的曲面,为方便,常把曲线所在,一条,平面曲线,母线,轴,作坐标轴,.,平面取作坐标面,旋转轴取,将 代入,得所求方程为,现求,yOz,坐标面上的已知曲线,绕,z,轴旋转一周的,旋转曲面方程,.,(2),点,M,到,z,轴的距离,xOz,坐,标面上的已知曲线,绕,x,轴旋转一周的,旋转曲面方程,为,绕,y,轴旋转一周的,旋转曲面方程,为,同理,：,yOz,坐标面上的已知曲线,解,圆锥面方程,所得旋转曲面称为,圆锥面,.,两直线的交点称为,圆锥面的,顶点,两直线的夹角,圆锥面的,半顶角,.,称为,试,建立顶点在坐标原点,O,旋,半顶角为,的,圆锥面的方程,.,转轴为,z,轴,面上,直线方程为,例,2,直线,L,绕另一条与,L,相交的直线旋转一周,圆锥面的方程也可写成,圆锥面的几种常用形式,与,分别表示开口朝上与朝下的半锥面,.,旋转椭球面,旋转抛物面,例,3,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成,的旋转曲面的方程,(1),yoz,面上的椭圆,绕,y,轴和,z,轴,;,(2),yoz,面上的抛物线,绕,z,轴,;,绕,y,轴旋转,绕,z,轴旋转,定义,平行于定直线并沿定曲线,C,这条定曲线,C,称为柱面的,准线,动直线,L,称为柱面的,母线,.,所形成的曲面称为,柱面,.,移动的直线,L,准线,母线,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的,特征,：,(,其他类推,),在空间直角坐标系中表示平行于,z,轴的柱面,其准线为,xOy,面上的曲线,C,.,椭球面,三元二次方程所表示的曲面称为,二次曲面,(,与,同号,),椭圆抛物面,z,x,y,o,x,y,z,o,特殊地,:,当,时,方程变为,旋转抛物面,分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面,.,例如,与,(,与,同号,),双曲抛物面,(,马鞍面,),设,图形如下,：,单叶双曲面,x,y,o,z,双叶双曲面,x,y,o,空间曲线的一般方程,空间曲线,C,可看作,空间两曲面的交线,.,特点,:,曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能,同时满足两个方程,.,8.3.2,空间曲线方程,例,4,方程组 表示怎样的曲线,?,解,表示圆柱面,，,表示平面,，,交线为,椭圆,C,例,5,方程组 表示怎样的曲线,?,解,上半球面,(,如图,),圆柱面,(,如图,),交线为蓝色部分,(,如图,),称为,空间曲线的参数方程,随着参数的变化可得到曲线上的,就得到曲线上的一个点,全部点,.,动点从,A,点出发,螺旋线的,参数方程,取时间,t,为参数,解,经过,t,时间,运动到,M,点,.,那末点,M,构,成的图形称为,螺旋线,.,试建立其参数方程,.,M,在,xOy,面的投影,轴的正方向上升,例,6,如果空间一点,M,在圆柱面,上以,角速度,绕,z,轴旋转,同时又以线速度,v,沿平行于,z,消去变量,z,后得,：,曲线关于,xOy,的,投影柱面,.,设空间曲线,C,的一般方程,：,投影柱面的,特征：,此柱面必包含曲线,C,以曲线,C,为准,线、,C,母线垂直于所投影的坐标面,.,类似地,:,可定义空间曲线在其它,坐标面上的投影,.,yOz,面,上的,投影曲线,xOz,面,上的,投影曲线,空间曲线在,xOy,面上的,投影曲线,(,或称,投影,),(,即为曲线关于,xOy,面,的,投影柱面,),(,即为,xOy,面,),C,(,即为投影柱面与,xOy,面的交线,),解 交线方程为,消去,z,得投影柱面,的交线关于,xOy,面的投影柱面和,在,xOy,面上的投影曲线方程,.,例,7,求椭圆抛物面 与抛物柱面,例,8,设一立体,由上半球面,解 半球面和锥面的交线为,的投影,.,和锥面 所围成,求它在,xOy,面上,
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