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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/10/9,1,主要内容,半群,独异点,群,2024/10/9,2,半群,定义,10.1(1),：,是一个代数系统,，,其中,S,是非空集合，*是,S,上的一个二元运算,(,运算*是,封闭,的,),，如果运算*是,可结合,的，即对任意的,x,y,zS，,满足(,x*y)*z=x*(y*z),则称代数系统,为,半群,。,2024/10/9,3,例,10.1,S,k,=x|xZxk,，,为半群,，,不是半群,2024/10/9,4,例,10.2,=a,b,，,+,为所有由,a,b,组成的字符串,”,”,为字符串的连接运算,.,则,做成半群。,2024/10/9,5,独异点,定义,10.1(2),：,设,是一个半群,，,若存在,e,S,为,S,中关于运算*的,单位元,则称,为,幺半群,，也叫做,独异点,。,(,有时也把单位元标明,),2024/10/9,6,例,10.1,S,k,=x|xZxk,，,(k0),？,？,不是独异点,是独异点,2024/10/9,7,例,10.2,=a,b,，,+,为所有由,a,b,组成的字符串,”,”,为字符串的连接运算,.,思考：,半群,是否做成独异点？,空串,*,=,+,做成独异点,2024/10/9,8,例,10.3,幂集,？,？,？,2024/10/9,9,10.4,*,是单位元,可结合性在运算表中无特殊体现,2024/10/9,10,群,(Group),定义,10.1,（,3,）：设,是一个代数系统，其中,G,是非空集合，*是,G,上一个二元运算，如果,(1).运算*是封闭的,(2).运算*是可结合的,(3).存在单位元,e,(4).,对于每一个元素,xG，,存在着它的逆元,x,-1,则称,是一个群,2024/10/9,11,例,10.1,S,k,=x|xZxk,，,(k0),？,？,不是群,不是群,是群,2024/10/9,12,例,10.2,=a,b,，,+,为所有由,a,b,组成的字符串,”,”,为字符串的连接运算,.,空串,*,=,+,思考：,独异点,是否做成群？,2024/10/9,13,例,10.3,幂集,？,？,？,单位元和逆元,?,2024/10/9,14,例,10.4(1-2),(1),整数加,群,(2),模,n,整数加群,思考,:,是不是群,?,2024/10/9,15,例,10.4(3-6),(3),n,阶实矩阵加,群,(4),n,阶实可逆矩阵乘法群；,(5),所有行列式为,1,的,n,阶实可逆矩阵关于矩阵乘法；,(6),集合,A=1,2,3,上所有的双射函数构成集合,S,3,则关于映射的复合作成群,.,2024/10/9,16,例,10.5,Klein,四元群,G=,e,a,b,c,e,a,b,c,e,e,a,b,c,a,a,e,c,b,b,b,c,e,a,c,c,b,a,e,2024/10/9,17,例,10.5(2),Klein,四元群,G=,e,a,b,c,e=,(0,0),a=,(0,1),b=,(1,0),c=,(1,1),运算,为逐分量模,2,加法,2024/10/9,18,群的,等价定义,定理,(,等价定义,),可结合，若存在右单位元,e,，且每个元素,a,相对于,e,存在右逆元,a,，则,G,是群,.,证明,:,封闭性,可结合性,单位元？,逆元？,2024/10/9,19,群的,等价定义,定理,(,等价定义,),可结合，若存在右单位元,e,，且每个元素,a,相对于,e,存在右逆元,a,，则,G,是群,.,证明,:,证,e,为左单位元,.,a,G,（要证,ea,=,a,）,ee,=e,(,e,为右单位元,),e,(,aa,)=(,aa,),(,ea,),a,=,aa,ea,=,a,(,右乘,a,的右逆元,),证,a,为,a,的左逆元，设,aa,=e,a,=,ea,=,(,aa,),a,=,a,(,aa,),=,ae,=a,2024/10/9,20,群的性质（一元一次方程有解）,性质,1,：设,是一个群，任给,a,b,G，,必存在唯一的,x,G，,使得,a*x=b,；必存在唯一的,x,G，s.t.,y*a=b.,证,a,-1,b,是,ax=b,的解,.,假设,c,为解，则,c=ec,=(,a,-1,a,),c,=,a,-1,(,ac,)=,a,-1,b,2024/10/9,21,群的,等价定义,2,定义：设,是一个半群，,a,b,G，,方程,a*x=b,和,y*a=b,在,G,中有解，则,G,是群。,证 找右单位元和任意元素的右逆元,.,任取,b,G,方程,bx=b,的解记为,e,.,a,G,yb=a,的解记为,c,即,cb=a,.,ae=(cb)e=c(be)=cb=a,e,为右单位元,.,a,G,方程,ax=e,有解，得到,a,的右逆元,2024/10/9,22,群的相关术语,平凡群,只含单位元的群,e,有限群与无限群,群,G,的阶,G,的基数，通常有限群记为,|,G,|,交换群,或,阿贝尔（,Abel,）群,2024/10/9,23,例,10.6,（交换群）,(1),无限群,;,(2),模,6,整数加群，阶为,6,(3),模,4,整数加群，阶为,4,(4),K,lein,四元群,G=,e,a,b,c,，,阶为,4,(5),群，阶为,|P(B)|,2024/10/9,24,元素的幂运算,定义,设,是一个半群,，,x,S,n,Z,+,定义的,x,的,n,次幂,x,n,为,:,推广到独异点,2024/10/9,25,元素的幂运算（,推广到群,）,定义,10.3,设,是一个群,，,x,G,n,Z,定义的,x,的,n,次幂,x,n,为,:,2024/10/9,26,元素的阶,定义,10.4,设,G,是群，,a,G,，元素,a,的阶,|,a,|,：使得,a,k,=e,成立的最小正整数,k,。,记作,|,a,|=,k,也称,a,为,k,阶元。,与群的阶比较,有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！）；,元素都是有限阶的群不一定是有限群,.,2024/10/9,27,例,10.6,（元素的阶）,(1),无限群,，,|0|=1,(2),模,6,整数加群，元素的阶,(3),模,4,整数加群，元素的阶,(4),K,lein,四元群,G=,e,a,b,c,(5),群中元素的阶,2024/10/9,28,幂运算的性质,定理,10.,1,幂运算规则,(,a,-1,),-1,=,a,(,ab,),-1,=,b,-1,a,-1,a,n,a,m,=,a,n+m,(,a,n,),m,=,a,nm,若,G,为,Abel,群，则,(,ab,),n,=,a,n,b,n,说明：,等式,1,和,2,证明用到逆元定义和唯一性,等式,3,和,4,的证明使用归纳法并加以讨论,等式,2,可以推广到有限个元素之积,.,2024/10/9,29,群的性质（,消去律,）,定理,10.2,：设,是一个群，对于任意的,a,b,c,G，,如果有,a*b=a*c,或者,b*a=c*a,，,则必有,b=c,(,消去律)。,2024/10/9,30,群的等价定义,定义,:,满足,(1),(2),及消去律且不含零元的,有限,代数系统是群,，即满足消去,律,且,不含零元的,有限半群做成群。,(1).运算*是封闭的,(2).运算*是可结合的,aG,=,ag|g,G,=,G,2024/10/9,31,幂等元,定义：代数系统,中，如果存在,a,G,，,有,a*a=a,，,则称,a,为幂等元。,2024/10/9,32,有限半群必存在幂等元,性质：设,是一个,半群,，如果,S,是一个,有限集,，则必有,a,S,，,使得,a,*,a,=,a,.,思路：(构造法),b,S,，,由,S,对*,封闭,及,S,有限,，则对序列,b,，,b,2,，,b,3,，,，,b,n,，,必定存在,j,i,，,s.t,.,b,i,=,b,j,，,令,p=j-i,1,，,有,b,j,=,b,p,*b,i,，,即,b,i,=,b,p,*b,i,.,2024/10/9,33,泵原理,b,0,b,1,b,2,b,3,b,4,b,5,=b,19,=b,33,=,b,6,=b,20,=b,34,=,b,7,=b,21,=b,35=,b,8,=b,22,=b,36,=,b,15,b,9,b,10,b,11,b,14,b,16,b,17,2024/10/9,34,幂等元构造,b,i,=b,p,*b,i,.,b,i,=b,kp,*b,i,b,q,=b,kp,*b,q,其中,q,=kp,*b*b*b,*b*b*b,b,i,=b,p,*b,i,=b,p,*,（,b,p,*b,i,）,=,b,p,*b,p,*,（,b,p,*b,i,）,b,i,=b,kp,*b,i,可找到,k,使得,kp,i,设,a,=,b,kp,，,则,a*a,=,a,2024/10/9,35,证明,性质：设,是一个半群，如果,S,是一个有限集，则必有,a,S,，,使得,a,*,a,=,a,.,证明：(构造法),b,S,，,由,S,对*,封闭,及,S,有限,，则对序列,b,，,b,2,，,b,3,，,，,b,n,，,必定存在,j,i,，,s.t,.,b,i,=,b,j,，,令,p=j-i,1,，,有,b,j,=,b,p,*b,i,，,即,b,i,=,b,p,*b,i,，,且可知对任给的,q,i,有,b,q,=,b,p,*,b,q,。因为,p,1，,所以总可找到,k,1，s.t.,kp,i,。因此对于,S,中的元素,b,kp,，,有,b,kp,b,p,*,b,kp,b,p,*(,b,p,*,b,kp,).=,b,kp,*,b,kp,.,设,a,=,b,kp,，,则,a,S,，,且,a*a,=,a,2024/10/9,36,群中元素的性质,定理,10.3,G,为群，,a,G,且,|a,|=,r,则,(1),a,k,=e,r,|,k,(2)|,a,|=|,a,-,1,|,(3),若,|,G,|=,n,则,r,n,.,证,(1),充分性,.,a,k,=,a,rl,=(,a,r,),l,=,e,l,=,e,必要性,.,k,=,rl,+,i,l,Z,i,0,1,r,-1,e=a,k,=,a,rl,+,i,=,a,i,i,=0,r,|,k,(2)(,a,-1,),r,=,e,|,a,-1,|,存在,令,|,a,-1,|=,t,则,t,|,r,.,同理,r,|,t,.,(3),假设,r,n,令,G,=,e,a,a,2,a,r,-1,则,G,中元素两两不,同，否则与,|,a,|=,r,矛盾,.,从而,|,G,|,n,，与,G,G,矛盾,.,2024/10/9,37,群中幂等元唯一,例：,在群,中，除单位元,e,外，不可能有任何别的,幂等元,(即,a*a=a,),证：,e*e=,e,，,e,为幂等元,现设,a,G,，,a,e,且,a*a=a,则有,a=e*a=(a,-1,*a)*a=a,-1,*(a*a)=a,-1,*a=e,2024/10/9,38,元素的阶的性质（,1,）,例,：,G,为群，,a,G,，,|,a,|=,r,证明,|,a,t,|=,r,/(,t,r,),证：令,|,a,t,|=,s,设,(,t,r,)=,d,t,=,dp,r,=,dq,r,/(,t,r,)=,r,/,d,=,q,只要证,s=q,(,a,t,),q,=(,a,t,),r/d,=(,a,r,),t/d,=,e,p,=,e,s,|,q,(,a,t,),s,=,e,a,ts,=e,r,|,ts,q,|,ps,q,|,s,（,p,q,互素）,2024/10/9,39,元素的阶的性质（,2,）,例,10.7:,G,为有限群，则,G,中阶大于,2,的元素有偶数个。,证：,a,2,=,e,a,2,=,a,-1,a,a,=,a,-1,，所以阶大于
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