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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,专题一 数学思想方法,第1讲 分类讨论思想,1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所,要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后,再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论,思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题,具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难,度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题,型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到,每个数学知识领域.,1,2.分类讨论的原则,（1）分类标准统一，对象确定，层次分明.,（2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分.,（3）分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结,果作以整合概述.,3.分类讨论的步骤,（1）确定讨论对象的主体；,（2）选取恰当科学的分类标准；,（3）逐类讨论，获得阶段性成果；,（4）归纳整合，得出结论.,2,【,例1,】已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,=32,n,-,n,2,，求其,通项公式,a,n,.,分析,依,S,n,的意义知：,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,，化简即可，但,要注意单独求,a,1,=,S,1,.,解,当,n,=1时，,a,1,=,S,1,=31.,当,n,2,n,N,*,时，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=32,n,-,n,2,-32(,n,-,1)+(,n,-1),2,=33-2,n,.,考察,a,1,=33-21=31,a,1,也适合,a,n,=33-2,n,.,综上,a,n,=33-2,n,（,n,N,*,）.,3,探究拓展,当一般性的结论在个别个体上无法使,用，或个体属性特别时，往往要单独解决，这是,产生分类讨论的基础.就本例而言，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,，,在,n,=1时，没有意义（,a,1,无前项），只有单独求,a,1,=,S,1,而在求得,a,1,与,a,n,(,n,2,n,N,*,)之后，还应,考察,a,1,是否适合,a,n,（,n,2,n,N,*,）时的规律，若,适合则合并写出,a,n,否则，分段表述,a,n,.,变式训练1,（,2009徐州、淮安调研,）已知集合,A,=3，,m,2,，,B,=-1，3，2,m,-1，若,A,B,则实数,m,的值为,.,解析,A,B,m,2,B,m,2,=-1或,m,2,=2,m,-1,m,=1.,1,4,【,例2,】若不等式,mx,2,+,mx,+20对一切实数,x,恒成立，,试确定实数,m,的取值范围.,解,（1）当,m,0时，,mx,2,+,mx,+20对于一切实数,x,（2）当,m,=0时，原不等式为20,显然对一切实数,x,恒成立.,综合（1）、（2）可得，当0,m,0,即 二次函数,y,的图象开口向,上，对称轴 它在0，1上的最大,值只能在区间端点达到（由于此处不涉及最小,值，故不需讨论区间与对称轴的关系）.,f,(0)=,m,f,(1)=2-2,m,.,当,m,2-2,m,又,7,当,m,2-2,m,若4-3,m,0，即 时，二次函数,y,的图象开,口向下，又它的对称轴方程 所以函,数,y,在0，1上是减函数.,于是,y,max,=,f,(0)=,m,.,由（1）、（2）可知，这个函数的最大值为,8,【,例3,】（2009连云港调研）已知不等式,的解集为,a,，,b,（,a,b,是常数，且,0,a,b,）,求,a,、,b,的值.,分析,由于 的对称轴为,x,=2,区间,含参数可按,a,、,b,、2的大小关系进行分类.,解,设,显然，其对称轴为,x,=2.,（1）当,a,2,b,时，如图1所示，函数,f,(,x,)的最小值,为1，,a,=1.,又,a,x,b,图1,9,此时，函数,f,(,x,)在,a,，,b,上的最大值为,f,(1)或,f,(,b,).,f,(,b,)为最大值.,又由于,f,(,x,)在1,b,上的值域为1,b,，,f,（,b,）=,b,.,（2）当2,a,b,时，如图2所示，,函数,f,(,x,)在,a,b,上递增，,f,（,a,）=,a,，,f,（,b,）=,b,.,图2,10,解之，得,a,=,b,=4,这与已知0,a,b,矛盾，应舍去.,（3）当0,a,b,2时，如图3所示，函数,f,(,x,)在,a,b,上递减，,f,（,a,）=,b,，,f,（,b,）=,a,，,图3,11,解之，得 这与0,a,b,矛盾，应舍去.,综上可知,a,=1,b,=4.,探究拓展,对称轴与目标区间的相对位置关系影,响函数最值的获取，本例是典型的“定轴，动区,间”类问题，要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨,论.另一类与之相对应的问题是“定区间动轴”问,题，见本例变式训练，备考者要细细体会这“一,例一变”的相似与相异之处.,当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为,叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨,论分别叙述.,12,变式训练3,设,A,点的坐标为(,a,0），,a,R,，求曲,线,y,2,=2,x,上的点到点,A,距离的最小值,d,.,分析 本题是求两点间距离的最小值问题，代入,距离公式、转化为求二次函数的最值问题.注意抛,物线上的点（,x,y,）应满足,x,0.,解,设,M,（,x,y,）为曲线,y,2,=2,x,上一点.,由于,x,0，二次函数,f,(,x,)=,x,-(,a,-1),2,+2,a,-1的顶,点的横坐标为,x,=,a,-1,由此作如下讨论：,(1)当,a,1时，当,x,=,a,-1时，|,MA,|,min,=,13,（2）当,a,0,且,a,1)、对数函数,y,=log,a,x,(,a,0,a,1)中底数,a,的,范围对单调性的影响；等比数列前,n,项和公式中公,比,q,的范围对求和公式的影响；复数概念的分类；,不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号,方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥,曲线离心率,e,的取值与三种曲线的对应关系；运用,点斜式，斜截式直线方程时斜率,k,是否存在；角的,终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等.,22,3.分类讨论产生的时机：,（1）涉及的数学概念是分类定义的.,（2）运算公式、法则、性质是分类给出的.,（3）参数的不同取值会导致不同的结果.,（4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的,结果.,（5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质,引发不同的结论.,（6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便,于解决.,（7）实际问题的实际意义决定要分类讨论.,23,一、填空题,1.过点,P,（2，3）且在坐标轴上的截距相等的直线方,程是,.,解析,从几何图形特征上看，分截距等于零、不,等于零两种情况，所求直线方程为,24,2.直线,l,过点,P,（-2，1），点,A,（-1，-2）到直线,l,的,距离等于1，则直线,l,的方程为,.,解析,直线,l,的斜率不存在时，满足条件的方程为,x,=-2,当斜率存在时，设,l,的方程为,y,-1=,k,(,x,+2),由,点到直线的距离公式，可得 所以直线,l,的方,程为4,x,+3,y,+5=0或,x,=-2.,4,x,+3,y,+5=0或,x,=-2,25,3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩,形，则它的体积为,.,解析,正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽,分别为2和4、或4和2两种情况进行讨论.,4.已知正三角形的边长为3，到这三个顶点,A,、,B,、,C,的距离都等于1的平面的个数是,.,解析,过,AB,、,AC,中点与,BC,平行的平面有2个，此,类平面有32=6个,还有与平面,ABC,平行且距离为,1的2个平面.故应有8个平面满足题意.,8,26,5.（2009江苏押题）等比数列,a,n,中，,a,3,=7,前3,项之和,S,3,=21,则公比为,.,解析,当,q,=1时，,a,3,=3,S,3,=21合题意；,6.（2009通州调研）将一颗骰子连续掷三次，它,落地时向上点数依次成等差数列的概率为,(结果用最简分数表示).,解析,基本事件总数为666,按公差为0、1、,2、-1、-2共分五类,能依次成等差的基本事件数18.,27,二、解答题,7.不等式(,k,2,-1),x,2,+2(,k,+1),x,+10对于,x,R恒成立,求,实数,k,的取值范围.,解,(1)若,k,2,-1=0即,k,=1时,分别将,k,=1代入原不,等式验证得,k,=-1时不等式恒成立;,(2)若,k,2,-10时,则,解得,k,0,4(,k,+1),2,-4(,k,2,-1)0.,28,8.已知函数,f,(,x,)=2,a,sin,2,x,-,a,sin,x,cos,x,+,a,+,b,(,a,0)的定义域为 值域为-5，1，求常,数,a,，,b,的值.,解,f,（,x,）=,a,（1-cos 2,x,）-3,a,sin 2,x,+,a,+,b,由于,f,(,x,)的值域为-5，1，可得：,29,30,9.已知方程,mx,2,+2y,2,=,m,+1(,m,R,)对于不同范围的,m,值,分别指出方程代表的图形.,解,当,m,=0或,m,=-1时,系数出现零,因此要对,m,=0和,m,=-1的情况进行讨论;,当,m,0且,m,-1时,方程变形为,由 这样-1,0,2,把数轴分成四个,区间,所以要分多种情况讨论.,(1)当,m,=0时,方程为2,y,2,=1,即 图形为两,条平行直线;,(2)当,m,=-1时,方程为-,x,2,+2,y,2,=0,即 图形,为两条相交直线;,31,32,综上,当,m,-1时,图形为焦点在,x,轴上的双曲线;,当,m,=-1时,图形为两条相交直线;,当-1,m,0时,图形为焦点在,y,轴上的双曲线;,当,m,=0时,图形为两条平行直线;,当0,m,2时,图形为焦点在,y,轴上的椭圆.,33,10.设函数,f,(,x,)=,x,e,kx,(,k,0).,(1)求曲线,y,=,f,(,x,)在点（0，,f,(0)）处的切线方程；,(2)求函数,f,(,x,)的单调区间；,(3)若函数,f,(,x,)在区间（-1，1）内单调递增，求,k,的取值范围.,解,(1),f,(,x,)=(1+,kx,)e,kx,f,(0)=1,f,(0)=0,曲线,y,=,f,(,x,）在点（0，,f,（0）,处的切线方程为,y,=,x,.,(2)由,f,(,x,)=(1+,kx,)e,kx,=0,34,函数,f,(,x,)单调递减；,函数,f,(,x,)单调递增.,若,k,0，则当且仅当,即,k,1,函数,f,(,x,)在(-1,1)内单调递增；,若,k,0，则当且仅当 即,k,-1时，,函数,f,(,x,)在（-1，1）内单调递增.,综上可知，函数,f,(,x,)在区间(-1,1)内单调递增时，,k,的取值范围是-1，0）（0，1.,返回,36,
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