命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节,命题及其关系、充分条件与必要条件,【知识梳理】,1.必会知识教材回扣填一填,(1)命题:,用语言、符号或式子表达的,可以_的陈述句叫做命题.其中,_的语句叫做真命题,_的语句叫做假命题.,判断真假,判断为真,判断为假,(2)四种命题及其相互关系:,(3)充要条件:,若pq,则p是q的_条件,q是p的_条件,p是q的_条件,pq且q p,p是q的_条件,p q且qp,p是q的_条件,pq,p是q的_条件,p q且q p,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,2.必备结论教材提炼记一记,(1)四种命题中的等价关系:,原命题等价于_,否命题等价于_,在四种形式的命题,中真命题的个数只能是0或2或4.,(2)等价转化法判断充分条件、必要条件:,p是q的充分不必要条件,等价于q是p的_条件.其他,情况依次类推.,逆否命题,逆命题,充分不必要,(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件:,p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为B,p是q的充分条件,_,p是q的必要条件,_,p是q的充分不必要条件,_,p是q的必要不充分条件,_,p是q的充要条件,_,A,B,B,A,A,B,B,A,A=B,3.必用技法核心总结看一看,(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等价转化法.,(2)数学思想:化归与转化思想.,(3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚.,命题形式有四种,分成两双同真假.,若p则q真命题,p是q充分条件,q是p必要条件,原逆皆真称充要.,【小题快练】,1.思考辨析静心思考判一判,(1)语句x,2,-3x+2=0是命题.(),(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.(),(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成立”.(),(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.(),【解析】,(1)错误.无法判断真假,故不是命题.,(2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题,它们的真假性,相同.,(3)正确.一个命题与其逆否命题等价.,(4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“pq且q p”,“p的充,分不必要条件是q”即为“qp且p q”.,答案:,(1)(2)(3),(4),2.教材改编链接教材练一练,(1)(选修1-1P8T2(1)改编)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题为,.,【解析】,“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数,”“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数”.,答案:,若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数,(2)(选修1-1P10T3(2)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的,条件.,【解析】,x=a(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b),=0”是“x=a”的必要不充分条件.,答案:,必要不充分,3.真题小试感悟考题试一试,(1)(2014北京高考)设a,b是实数,则“ab”是“a,2,b,2,”的(),A.充分而不必要条件,B.必要而不充分条件,C.充分必要条件,D.既不充分也不必要条件,【解题提示】,验证充分性与必要性.,【解析】,选D.“ab”推不出“a,2,b,2,”,例如,2-3,但4b,2,”也推不出“ab”,例如,94,但-32.,(2)(2014浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的(),A.充分不必要条件B.必要不充分条件,C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,【解析】,选A.“四边形ABCD为菱形”“ACBD”,“ACBD”推不出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件.,(3)(2015焦作模拟)已知命题:如果x3,那么x1”是真命题,B.逆命题是“若m1,则函数f(x)=e,x,-mx在(0,+)上是增函数”是假命题,C.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=e,x,-mx在(0,+)上是减函数”是真命题,D.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=e,x,-mx在(0,+)上不是增函数”是真命题,(2)(2014陕西高考)原命题为“若 nN,+,则a,n,为递,减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(),A.真,真,真B.假,假,真,C.真,真,假D.假,假,假,【解题提示】,(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断其真假.,(2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.,【规范解答】,(1)选D.f(x)=e,x,-m,由f(x)在(0,+)上是增函数知f(x)0,即me,x,在x(0,+)上恒成立,又e,x,1,从而m1,则原命题是真命题.对于A,否命题写错,故A错;对于B,逆命题写对,但逆命题是真命题,故B错;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对,且为真命题,故选D.,(2)选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.,【易错警示】,解答本例题(1)有两点容易出错:,(1)根据f(x)是增函数求错m的取值范围.,(2)把“f(x)是增函数”的否定错误地认为是“f(x)是减函数”.,【规律方法】,1.书写否命题和逆否命题的关注点,(1)一些常见词语及其否定表示:,词语,是,都是,都不是,等于,大于,否定,不是,不都是,至少一个是,不等于,不大于,(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点:,方法:首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.,注意点:注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是.,2.命题真假的判断方法,(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.,(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.,【变式训练】,命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是(),A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数,B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数,C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数,D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数,【解析】,选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.,【加固训练】,1.命题“若= ,则tan=1”的逆否命题是(),A.若 ,则tan1B.若= ,则tan1,C.若tan1,则 D.若tan1,则=,【解析】,选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则 ”,故选C.,2.关于命题“若抛物线y=ax,2,+bx+c的开口向下,则x|ax,2,+bx+c0,”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是,(),A.都真B.都假,C.否命题真D.逆否命题真,【解析】,选D.原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.,考点2,充分条件、必要条件的判断,知考情,充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何等知识.,明角度,命题角度1:,定义法判断充分条件、必要条件,【典例2】,(2014湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,B,U,C”是“AB=,”的(),A.充分而不必要的条件,B.必要而不充分的条件,C.充要条件,D.既不充分也不必要的条件,【解题提示】,考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断.,【规范解答】,选C.依题意,若AC,则,U,C,U,A,当B,U,C,可得AB=;若AB=,不妨令C=A,显然满足AC,B,U,C,故满足条件的集合C是存在的.,命题角度2:,集合法判断充分条件、必要条件,【典例3】,(2014安徽高考)“x0”是“ln(x+1)0”的(),A.充分不必要条件,B.必要不充分条件,C.充分必要条件,D.既不充分也不必要条件,【解题提示】,分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断.,【解析】,选B.由ln(x+1)0,得0x+11,即-1x0,由于x|-1x0 x|x0,故“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.,命题角度3:,等价转化法判断充分条件、必要条件,【典例4】,(2013山东高考)给定两个命题p,q.若p是q的必要而不充分条件,则p是q的(),A.充分而不必要条件,B.必要而不充分条件,C.充要条件,D.既不充分也不必要条件,【解题提示】,借助原命题与逆否命题等价判断.,【规范解答】,选A.因为p是q的必要不充分条件,则qp但p,q,其逆否命题为pq但q p,所以p是q的充分不必要条件.,悟技法,充要条件的三种判断方法,(1)定义法:根据pq,qp进行判断.,(2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.,(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1或y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.,通一类,1.(2014新课标全国卷)函数f(x)在x=x,0,处导数存在,若p:f(x,0,)=0;q:x=x,0,是f(x)的极值点,则(),A.p是q的充分必要条件,B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件,C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件,D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件,【解析】,选C.因为若f(x,0,)=0,则x,0,不一定是极值点,所以命题p不是q的充分条件;,因为若x,0,是极值点,则f(x,0,)=0,所以命题p是q的必要条件.,2.(2013湖南高考)“1x2”是“x2”成立的(),A.充分不必要条件,B.必要不充分条件,C.充分必要条件,D.既不充分也不必要条件,【解析】,选A.因为集合(1,2)是集合(-,2)的真子集,所以“1x2”是“x2”成立的充分不必要条件,故选A.,3.(2013上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的(),A.充分条件,B.必要条件,C.充分必要条件,D.既非充分也非必要条件,【解析】,选B.“便宜没好货”等价于“好货不便宜”,故选B.,考点3,充分条件、必要条件的应用,【典例5】,(1)函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不,必要条件是(),A.a0B.0a,C. a1,(2),设条件,p:2x,2,-3x+10;,条件,q:x,2,-(2a+1)x+a(a+1)0,若,p,是,q,的必要不充分条件,则实数,a,的取值范围是,.,【解题提示】,(1)先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案.,(2)先解不等式把条件p,q具体化,再由互为逆否命题的等价性确定p,q之间的关系,最后根据集合间的关系列不等式组求解.,【规范解答】,(1)选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只,有一个零点函数y=-2,x,+a(x0)没有零点函数y=2,x,(x0)与直线,y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1.,观察选项,根据集合间关系a|a1,故选A.,(2),由,2x,2,-3x+10,得 ,x1,由,x,2,-(2a+1)x+a(a+1)0,得,axa+1.,由,p是q的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,则有,x| x1 x|axa+1,所以 解得0a .,答案:,0, ,【规律方法】,1.与充要条件有关的参数问题的求解方法,解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.,提醒:,求解时要注意区间端点值的检验.,2.充要条件的证明方法,在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种设置格式.,(1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是AB,必要性是BA.,(2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是BA,必要性是AB.,提醒:,在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清命题的条件是什么,结论是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明,即用等价转化法进行推理证明.,【变式训练】,已知P=x|x,2,-8x-200,S=x|1-mx1+m.,(1)是否存在实数m,使xP是xS的充要条件,若存在,求出m的取值范围.,(2)是否存在实数m,使xP是xS的必要条件,若存在,求出m的取值范围.,【解析】,由x,2,-8x-200得-2x10,所以P=x|-2x10,(1)因为xP是xS的充要条件,所以P=S,所以 所以 这样的m不存在.,(2)由题意xP是xS的必要条件,则SP,当S=时,1-m1+m,解得m1”是“x1得x1或x-1.,由题意知x|x1或x-1,所以a-1,从而a的最大值为-1.,答案:,-1,2.已知ab0,证明a+b=1成立的充要条件是a,3,+b,3,+ab-a,2,-b,2,=0.,【证明】,先证充分性:若a,3,+b,3,+ab-a,2,-b,2,=0,则(a+b-1)(a,2,-ab+b,2,)=0,所以,(a+b-1),=0,由,ab0,得,a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.,再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知a,3,+b,3,+ab-a,2,-b,2,=(a+b-1)(a,2,-ab+b,2,)=0,故必要性得证.,综上知,a+b=1成立的充要条件是a,3,+b,3,+ab-a,2,-b,2,=0.,自我纠错1,充分条件、必要条件的判断,【典例】,(2015天津模拟)设a,bR,且a0,则“(a-b)a,2,0”是,“ab”的( ),A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件,C.充要条件D.既不充分也不必要条件,【解题过程】,【错解分析】,分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?,提示:,(1)忽略a0这一条件.,(2)只考虑了ab(a-b)a,2,0.,由,(a-b)a,2,0,知,a-b0,即,ab.,所以“,(a-b)a,2,0”是,“,a0.,因为,ab,即,a-b0,所以,(a-b)a,2,0.,所以“,(a-b)a,2,0”是,“,ab”,的必要条件,.,综上,应选C.,