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第二章,一元二次方程,2.2,用配方法求解,一元二次方程,（第,2,课时 配方法,(2,),）,1.,会用配方法解二次项系数不为,1,的一元二次方程,;.,（重点）,2.,能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程,.,（难点）,学习目标,复习引入,(1),9,x,2,=1,；,(2),(,x,-2),2,=2.,2,.,下列方程能用直接开平方法来解吗,?,1,.,用直接开平方法解下列方程,:,(1),x,2,+6,x,+9=,5,；,(2),x,2,+6,x,+4=0.,把两题转化成,(,x,+,n,),2,=,p,(,p,0),的,形式，再利用开平方,导入新课,问题,1,：,观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：,x,2,+6,x,+8=0,;,3,x,2,+8,x,3=0,.,问题,2,：,用配方法来解,x,2,+6,x,+8=0,.,解：,移项，得,x,2,+6,x,=,-,8,配方，得,（,x,+3,）,2,=1,.,开平方,得,x,+3=,1,.,解得,x,1,=,-,2,x,2,=,-,4,.,想一想怎么来解,3,x,2,+8,x,3=0,.,讲授新课,用配方法解二次项系数不为,1,的一元二次方程,知识点,1,试一试：,解方程：,3,x,2,+8,x,-,3=0,.,解：,两边同除以,3,得,x,2,+,x,-,1=0,.,配方,得,x,2,+,x,+(),2,-,(),2,-,1=0,（,x,+,）,2,-,=0,.,移项,得,x,+=,即,x,+=,或,x,+=,.,所以,x,1,=,x,2,=,-3,.,配方，得,由此可得,二次项系数化为,1,，得,解：移项，得,2,x,2,3,x,=,1,即,移项和二次项系数化为,1,这两个步骤能不能交换一下呢,?,例,1,解下列方程：,配方，得,因为实数的平方不会是负数，所以,x,取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为,1,，得,为什么方程两边都加,1,2,？,即,思考,1,：,用配方法解一元二次方程时，移项时要,注意些什么？,思考,2,：,用配方法解一元二次方程的一般步骤,.,移项时需注意改变符号,.,移项，二次项系数化为,1,；,左边配成完全平方式；,左边写成完全平方形式；,降次；,解一次方程,.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成,(,x,+,n,),2,=,p,.,当,p,0,时,则,方程的两个根为,当,p,=0,时,则,(,x,+,n,),2,=0,x,+,n,=0,开平方得方程的两个根为,x,1,=,x,2,=-,n,.,当,p,0,时,则方程,(,x,+,n,),2,=,p,无实数根,.,规律总结,引例：,一个小球从地面上以,15m/s,的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度,h,(m),与时间,t,(s),满足关系：,h=,15,t,-,5,t,2,.,小球何时能达到,10m,高？,解：,将,h,=10,代入方程式中,.,15,t,-,5,t,2,=,10,.,两边同时除以,-5,得,t,2,-,3,t,=,-,2,配方,得,t,2,-,3,t +,(),2,=,(),2,-,2,（,t,-,）,2,=,配方法的应用,知识,点,2,移项,得,（,t,-,）,2,=,即,t,-,=,或,t,-,=,.,所以,t,1,=2,t,2,=,1,.,即在,1,s,或,2,s,时，小球可达,10m,高,.,例,2,.,试用配方法说明：不论,k,取何实数，多项式,k,2,4,k,5,的值必定大于零,.,解：,k,2,4,k,5=,k,2,4,k,4,1,=,（,k,2,）,2,1,因为（,k,2,）,2,0,，所以（,k,2,）,2,11.,所以,k,2,4,k,5,的值必定大于零,.,例,3,.,若,a,b,c,为,ABC,的三边长，且,试判断,ABC,的形状,.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，,ABC,为直角三角形,.,1.,方程,2,x,2,-,3,m,-,x,+,m,2,+2=0,有一根为,x,=0,，则,m,的值为（）,A.1 B.1 C.1,或,2 D.1,或,-,2,2.,应用配方法求最值,.,(1)2,x,2,-,4,x,+5,的最小值；,(2)-3,x,2,+5,x,+1,的最大值,.,练一练,C,解：原式,=2(,x,-,1),2,+3,当,x,=1,时有最小值,3,解：,原式,=,-,3(,x,-,2),2,-,4,当,x,=2,时有最大值,-4,归纳总结,配方法的应用,类别,解题策略,1.求最值或,证明代数式,的值为恒正,（或负）,对于一个关于,x,的二次多项式通过配方成,a,(,x+m,),2,n,的形式后，,(,x+m,),2,0,，,n,为常数，,当,a,0,时，可知其,最小值；,当,a,0,时，可知其,最大值,.,2,.完全平方式中的配方,如：已知,x,2,2,mx,16,是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于,16,，即,m,2,=16,，,m=,4,.,3,.利用配方构成非负数和的形式,对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是,配方成多个完全平方式得其和为,0,，再根据非负数的和为,0,，各项均为,0,，从而求解,.,如：,a,2,b,2,4,b,4=0,则,a,2,(,b,2),2,=0,即,a,=0,，,b,=2.,例,4,.,读诗词解题：,（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄,.,）,大江东去浪淘尽，,千古风流数人物。,而立之年,督东吴，,早逝英年两位数。,十位恰小个位三，,个位平方与寿符。,哪位学子算得快，,多少年华属周瑜？,解：设个位数字为,x,，十位数字为,(,x-,3),x,1,=6,x,2,=5,x,2,-11,x,=-30,x,2,-11,x,+5.5,2,=-30+5.5,2,(,x,-5.5),2,=0.25,x,-5.5=0.5,或,x,-5.5=-0.5,x,2,=10(,x,-3)+,x,这个两位数为,36,或,25,，,周瑜去世的年龄为,36,岁,.,周瑜,30,岁还攻打过东吴，,1.,解下列方程：,（,1,）,x,2,+4,x,-9=2,x,-11,；（,2,）,x,(,x,+4)=8,x,+12,；,（,3,）,4,x,2,-6,x,-3=0,；（,4,）,3,x,2,+6,x,-9=0.,解：,x,2,+2,x,+2=0,，,(,x,+1),2,=-1.,此方程无解；,解：,x,2,-4,x,-12=0,，,(,x,-2),2,=16.,x,1,=6,x,2,=-2,；,解：,x,2,+2,x,-3=0,，,(,x,+1),2,=4.,x,1,=-3,x,2,=1.,随堂练习,2.,利用配方法证明：不论,x,取何值，代数式,x,2,x,1,的值总是负数，并求出它的最大值,.,解：,x,2,x,1,=,(,x,2,+,x+,)+,1,所以,x,2,x,1,的值必定小于零,.,当,时，,x,2,x,1,有最大值,3.,若 ，求,(,xy,),z,的值,.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,4.,如图，在一块长,35m,、,宽,26m,的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为,850m,2,，,道路的宽应为多少？,解：设道路的宽为,x,m,根据题意得,（,35-,x,)(26-,x,)=850,，,整理得,x,2,-61,x,+60=0.,解得,x,1,=60,（不合题意，舍去）,x,2,=1.,答：道路的宽为,1m.,5.,已知,a,b,c,为,ABC,的三边长，且,试判断,ABC,的形状,.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，,ABC,为等边三角形,.,配方法,方法,步骤,一移常数项；,二配方,配上,；,三写成,（,x,+,n,),2,=,p,(,p,0);,四直接开平方法解方程,.,特别提醒：,在使用配方法解方程之前先把方程化为,x,2,+,px,+,q,=0,的形式,.,应用,求代数式的最值或证明,在方程两边都配上,课堂小结,
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