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*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,误差分析,Error Analysis,误差的来源,误差 误差限 有效数字,相对误差和绝对误差,误差的传播,在近似计算中需要注意的问题,目次,模型误差,观测误差,舍入误差,截断误差,1.1,误差的来源,计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。,例如：在,10,位十进制数限制下：,130.3333333333,本应,130.3333333333,1.000002,2,-1.000004=0,本应,1.000002,2,-1.000004,=1.0000040000 04-1.000004,=0.0000000000 04,舍入误差,(,Round-off Errors),舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。,1.1.2,截断误差,(Truncation Error),用近似的值去代替数学上的准确值带来的误差。,例如：,泰勒级数,零阶近似:,一阶近似:,二阶近似:,完全的泰勒级数,:,余项(n阶近似):,:,介于,x,i,and,x,i+,1,x,=,x,i+,1,-,x,i,余项：,Taylor 级数表示为:,截去的部分,零阶近似:,截断误差,:,一阶近似,R,n,:,零阶近似,R,n,:,斜率:,1.2,误差 误差限 有效数字,Def1.1,若用,x*,表示,x,准确值的一个近似值。则此近似值,x*,和准确值,x,的差称为误差，用,e*,来表示,e*x*x,Def1.2,若,|e*|x*x|*,*称为近似值,x*,的误差限。,例,1.2,已知,x*=3.14159,，求近似值,x,1,=3.14,，,x,2,=3.142,，,x,3,=3.1416,的误差限。,解,所以误差限,1,=0.002,，,2,=0.0005,，,3,=0.000008,有效数字,Def1.3,若用,x,的近似值,x,*的误差限是某一位上的半个单位，该位到,x,*的第一位非零数字共有,n,位，则称,x,*有,n,位有效数字,若用,x,*表示,x,的近似值，并将,x,*表示成,x,*,0,.,a,1,a,2,a,n,10,m,若,|,x,*,x,|,0.510,mn,则近似值x,*有,n,位有效数字,(1.1),例,1.3,设,x*,=0.0270,是某数,x,经“四舍五入”所得，则误差,|,e,(,x,*)|,不超过,x,*,末位的半个单位，即：,|,x,*,x,|0.510,-4,又,x,*,=,0.2710,-1,故该不等式又可写为,|,x,*,x,|0.510,-1-3,由有效数字定义可知,x,*,有3位有效数字,分别是2,7，0。,例,1.4,设,x,32.93,x,*,32.89,则,|,x,*,x,|,0.04,0.050.510,-1,即,|,x,*,x,|,0.510,2-3,由有效数字定义可知,x,*,有3位有效数字,分别是3,2,8。,由于,x,*,中的数字9不是有效数字，故,x,*,不是有效数。,1.3,相对误差和绝对误差,设,x,准确值,x*,近似值,称,为近似值,x*,的相对误差,实用中，常用,表示近似值,x*,的相对误差，称,为相对误差限,相应的，,e*,称为绝对误差，称为绝对误差限,有效数位与误差的关系,有效数位,n,越多，则绝对误差|,e*,|,越小,形如,(1.1),式的,近似数,x*,具有,n,位有效数字，则其相对误差限可取为,基本算术运算,设,x*,和,y*,分别是,x,和,y,的近似值，把它们的误差近似地看做是相应地微分，即,dx,x*x，,dy,y*y,则,d（xy）,dx,dy,d（,xy,）,xdy,y,dx,d（x/y）（,xdy,ydx,）/y,2,1.4,误差传播,(1.3),和,(1.4),给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。,一元函数,设,yf(x)，,若,x,的,近似值是,x*，,用,f(x*),去,近似,f(x),的误差可用,Taylor,公式估计,(1.3),(1.4),多元函数情形,由多元函数的Taylor展开公式类似可得,(1.5),(1.6),(1.8),(1.9),例,1.5,测得某桌面的长,a,的近似值,a*=120cm,宽,b,的近似值,b*=60cm,。若已知,|e(a*)|0.2cm,|e(b*)|0.1cm,。试求近似面积,s*=a*b*,的绝对误差限与相对误差限。,解:面积,s=ab,在公式,（1.5）,中,将,y=f(x,1,x,2,),换为,s=ab,则,相对误差限为,1.5,在近似计算中需要注意的问题,1.,尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数,例如，计算多项式,通常运算的乘法次数为,若采用递推算法,则乘法次数仅为n.又如,2.,防止大数“吃掉”小数,当,|a|b|,时，尽量避免,a+b,。例如，假设计算机,只能存放,10,位尾数的十进制数，则,10,8,+0.04=10,8,3.,尽量避免相近数相减,例如，当,x,很大时，应,当x接近于0时，应,4.避免绝对值很小的数做分母,当|b|b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机,只能存放10位尾数的十进制数，则,3.尽量避免相近数相减,例如，当x很大时，应,，,当x接近于0时，应,4.,避免绝对值很小的数做分母,当,|b|a|,时，应尽量避免,a/b,5.,选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速,增长,
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