复数的加减乘除

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复数的加法与减法,1、复数的加法的几何意义,复数可以用向量表示，如果与这些复数对应的向量不共线，那么这些复数的加法就可以按照向量的平行四边形法则来进行。,Z,1,(a,b),Z,2,(c,d),Z,O,y,x,如果 在同一直线上，可以画出一个“压扁”的平行四边形，并举此画出它的对角线来表示 的和。总之，复数的加法可以按照向量加法法则来进行，这就是复数加法的几何意义。,2,、复数的加法法则,设向量 所对应的复数x+yi，由上图可知，x=a+c，y=b+d，因此有（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i,注,（1）两个复数的和仍是一个复数。,（2）b=d=0时，与实数加法法则是一致。,（3）复数的加法法则满足交换律、结合律。,即对任何z,1,，z,2,，z,3,C，有z,1,+z,2,=z,2,+z,1，,（z,1,+z,2,）+z,3,=z,1,+（z,2,+z,3,）,3、复数的减法法则,规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足（c+di）+,（x+yi）,=a+bi的复数,x+yi，叫做复数,a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）-（c+di）,（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。,两个复数相加（,减,）就是把,实部与实部、虚部与虚部分别相加（,减,），即,（a+bi）（c+di）=（a c）+（bd）i,复数的加法法则,注,：两个复数的差是一个唯一确定的复数。,4、复数减法的几何意义,5、例题,例1 计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4 i）。,例2 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内圆的方程。,Z,1,(a,b),Z,2,(c,d),O,y,x,Z,z,1,-z,2,例3 设 z,1,=-2+5i,z,2,=3+2i分别用代数与,几何方法计算,例4 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内,两点间距离公式。,例5 在复平面内，满足下列复数形式方程,的动点Z的轨迹是什么？,复数的乘法与除法,一、复数的乘法,设z,1,=a+bi,z,2,=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，,则z,1,z,2,=(a+bi)(c+di)=,注,：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须在所得的结果中把i,2,换成-1，并把实部与虚部分开。,ac+bci+adi+bdi,2,=(ac-bd)+(ad+bc)i,2、两个复数的积仍是复数。,3、复数的乘法满足：,z,1,z,2,=z,2,z,1,(z,1,z,2,),z,3,=z,1,(z,2,z,3,),交换律,结合律,分配律,z,1,（z,2,+,z,3,）=z,1,z,2,+,z,1,z,3,计算：(a+bi)(a-bi),=a,2,-(bi),2,=a,2,-b,2,i,2,=a,2,+b,2,注4、,z z=|z|,2,=|z|,2,5、实数集R中正整数指数幂的运算律在复数集C中仍成立，即,z,、,z,1、,z,2,C，m、n N,*,有,z,m,z,n,=z,m+n,(z,m,),n,=z,m,n,(z,1,z,2,),n,=z,1,n,z,2,n,一般地，如nN,*,，有,i,4n,=1 i,4n+1,=i i,4n+2,=-1 i,4n+3,=-i,例1：计算 ,(1+i),2,(1-i),2,（1-2i)(3+4i)(-2+i),例2：设w=求证：,1+w+w,2,=o w,3,=1,2015i,一、复数的除法,复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足,（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di0),的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作,（a+bi）（c+di)或,计算：,（1+2i)(3-4i),i,2002,+(+i),8,i,i,(12i)/5,1256 i,