《导数的定义》PPT课件

第一节 导数的概念,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2011/10/27,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2011/10/27,第一节 导数的概念,*,第二章,一元函数微分学,2,第二章 一元函数微分学,一、导数的概念,二、函数的求导法则,三、高阶导数,四、隐函数及参数方程参数所确定函数的导数,五、微分,2011/10/27,3,第一节,导数的基本概念,(The Derivative),一、导数的背景,二、导数的定义,三、导数的几何意义及应用,第一节 导数的概念,2011/10/27,4,一,.,背景,在真空中,当时间由,t,变到,t,+,t,时,自由,1,、物理背景,-,非匀速运动物体的速度问题,落体所经过的路程为,例,1,物体由,t,到,t,+,t,一段的平均速度是,第一节 导数的概念,2011/10/27,5,求物体在时刻,t,的瞬时速度,v,t,就是,令,t,0,的极限过程：,从物理学看,当,t,0,时,应该有,这是否也说明了一个什么问题,?,第一节 导数的概念,2011/10/27,2,、医学背景,-,细胞的增值速度,设增值细胞在某一时刻,t,的总数,N,显然,N,是时间,t,的函数,即,N=N,（,t,）,在,t,0,到,t,0,+,t,这段时间内,细胞的平均增长率为,6,它在,t,趋于,0,时的极限（如果存在的话）就是细胞在,t,0,时刻的增值速度，即,第一节 导数的概念,2011/10/27,7,3,、数学背景,-,平面曲线的切线问题,(TangentLines),播放,M,N,T,割线,MN,绕点,M,旋转而趋向极限位置,MT,直线,MT,就称为曲线,C,在点,M,处的切线,.,第一节 导数的概念,2011/10/27,8,沿曲线趋近于点,A,时的极限位置,.,平面曲线,y,=,f,(,x,),的切线,：,曲线在点,A,(,x,0,y,0,),处的切线,AT,为过曲线上,点,A,的任意一条割线,AA,当点,A,(,x,0,+,x,y,0,+,y,),定义,1,切线方程,:,其中,第一节 导数的概念,2011/10/27,9,(1),建立一个函数关系,y,=,f,(,x,),x,I.,(2),求函数由,x,0,到,x,0,+,x,的平均变化率：,解决与速度变化或变化率相关问题的步骤,:,(3),求,x,0,的,极限：,小结,第一节 导数的概念,2011/10/27,10,二,.,导数的概念,设函数,f,(,x,),在,U(,x,0,),有定义,且,x,0,+,x,U(,x,0,).,则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处可导,极限值,a,称为,f,(,x,),在,如果极限,存在,点,x,0,处,的导数,.,记为,定义,2,1.,导数的定义,第一节 导数的概念,2011/10/27,11,k,0,为常数.,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,处可导,则,第一节 导数的概念,2011/10/27,12,设函数,f,(,x,),在,x,0,x,0,+,),内有定义,若,存在,则称,a,为,f,(,x,),在点,x,0,处的右导数,.,记为,2.,左、右导数,定义,3,第一节 导数的概念,2011/10/27,13,设函数,f,(,x,),在,(,x,0,x,0,内有定义,若,存在,则称,a,为,f,(,x,),在点,x,0,处的左导数,.,记为,定义,4,第一节 导数的概念,2011/10/27,14,定理,好像见过面啊！,第一节 导数的概念,2011/10/27,15,解,例,2,第一节 导数的概念,2011/10/27,16,3.,导函数,若,x,(,a,b,),函数,f,(,x,),皆可导,则说,f,(,x,),在,(,a,b,),内可导,.,这时,f,(,x,),是关于,x,的一个新函数,称之为,f,(,x,),在,(,a,b,),内的导函数,.,通常我们仍称之,为,f,(,x,),在,(,a,b,),内的导数：,定义,5,第一节 导数的概念,2011/10/27,17,函数在点,x,0,I,处的导数,:,若,f,(,x,),在,(,a,b,),内可导,且,存在,则称,f,(,x,),在,a,b,上可导,f,(,x,),称为,f,(,x,),在,a,b,上,的导函数,简称为导数,.,先求导、后代值,.,定义,6,第一节 导数的概念,2011/10/27,三、由定义求导数举例,18,步骤,:,解,例,3,第一节 导数的概念,2011/10/27,19,例,4,第一节 导数的概念,2011/10/27,20,解,更一般地,例如,例,5,第一节 导数的概念,2011/10/27,21,解,例,6,第一节 导数的概念,2011/10/27,22,解,例,7,第一节 导数的概念,2011/10/27,四、导数的意义,23,1.,几何意义,(Geometric Interpretation),第一节 导数的概念,2011/10/27,24,y,O,x,x,0,y=c,f,(,x,0,)=0,y,O,x,f,(,x,0,)=,x,0,O,x,y,x,0,y,O,x,x,0,f,(,x,0,),不存在,f,(,x,0,),不存在,第一节 导数的概念,2011/10/27,25,例,解,根据导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,例,8,第一节 导数的概念,2011/10/27,26,2.,简单的物理意义,1,）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度,.,2,）交流电路中电量对时间的导数为电流强度,.,第一节 导数的概念,2011/10/27,27,函数,f,(,x,),在点,x,0,可导的,必要条件是它在点,x,0,连续,.,只是必要条件！,五、可导与连续的关系,第一节 导数的概念,2011/10/27,28,设,f,(,x,),在点,x,0,可导,即有,于是,故,第一节 导数的概念,2011/10/27,29,y,=|,x,|,在点,x,=0,连续,但不可导,.,故,f,(0),不存在,.,y,=|,x,|,O,x,y,例,9,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,30,在点,x,=0,处的,连续性和可导性,.,又,当,n,N,时,函数在,点,x,=0,处连续,.,例,10,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,31,当,n,=1,时,不存在,故,n,=1,时,函数在,x,=0,处不可导,.,当,n,1,时,故,n,1,时,函数在,x,=0,处可导,.,其导数为,第一节 导数的概念,2011/10/27,32,f,(,x,),在,x,=0,处,可导,从而,f,(,x,)=,1+,bx,x,0,e,x,x,0,f,(0)=1,f,(,x,),在,x,=0,处,连续,f,(0)=,a.,例,11,解,设,a,+,bx,x,0,求,a,b,之值.,e,x,x,0,y,=,在,x,=0,可导,第一节 导数的概念,2011/10/27,33,由可导性：,故,b,=1,此时函数为,f,(,x,)=,1,x,x,0,e,x,x,0,第一节 导数的概念,2011/10/27,六、小结,34,1.,导数的概念与实质,:,增量比的极限,;,3.,导数的几何意义与物理意义；,5.,函数可导一定连续，但连续不一定可导。,4.,由定义求导数；,第一节 导数的概念,2011/10/27,35,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,36,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,37,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,38,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,39,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,40,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,41,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,42,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,43,2.,切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,44,2.,切线问题,切线：割线的极限,结束,M,T,N,割线,MN,绕点,M,旋转而趋向极限位置,MT,直线,MT,就称为曲线,C,在点,M,处的切线,.,第一节 导数的概念,2011/10/27,