连续型随机变量的概率密度

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,连续型随机变量,一、概率密度,1.,定义:,对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-,x+,)，,使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的,概率密度函数,，简称概率密度或密度函数.,常记为,X f(x),(-,x+,),密度函数的,几何意义,为,2.,密度函数的性质,(1),非负性,f(x),0，,(-,x,),；,(2),归一性,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,EX,设随机变量X的概率密度为,求常数a.,答:,(3),若,x,是f(,x,),的连续点，则,练习：设随机变量X的分布函数如下，求,f(x),答：,（4）,对任意实数,b,，,若X f(x),，,(-,x,)，,则PX=,b,0。,于是,例4 已知随机变量X的概率密度为,1)求X的分布函数F(x),2)求PX,(0.5,1.5),解,二、几个常用的连续型分布,1.,均匀分布,若Xf(x),则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b),对任意实数c,d(acd0的指数分布。,其分布函数为,例8.,电子元件的寿命X(,年）服从参数为1/3的指数分布,(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。,(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,例9.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，,设0，t时段内过桥的汽车数X,t,服从,参数为,t的泊松分布，求T的概率密度。,解,当t 0时，,当t 0时，,=1-,在t时刻之前无汽车过桥,于是,例10设某类元件使用寿命,服从参数,=10000的,指数分布（单位：小时）,（）从这类元件中任取一个，求其使用寿命,超过5000小时的概率;及,小于,5000小时的概率;,（）某系统独立地使用个这种元件，求在5000小时内这些元件不必要更换的个数,的分布律。,（,3,）求个元件使用小时内至少更换一个的概率,解：,应用1,2,这就是,的分布律,应用）描述等待时间,的随机变量服从指数分布,若等待时间超过t，按公式P,t=1-e,-t/,计算若等待时间不超过t，按公式P,t=e,-t/,计算.,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上,研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特,别重要的地位。,3,.,正态分布,A,B,A，B间真实距离为,，测量值为X,。,X的概率密度应该是什么形态？,其中,为实数，,0，则称X,服从参数为,2,的,正态分布,记为N(,2,)，,可表为,XN(,2,),.,若,随机变量,(1),单峰对称,密度曲线关于直线x=,对称,；,f()maxf(x).,正态分布有两个特性,：,(2),的大小直接影响概率的分布,越大，曲线越平坦,，,越小，曲线越陡峻,，。,正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.,标准正态分布,参数,0，,2,1的正态分布称为,标准正态分布，记作,XN(0,1),。,分布函数表示为,其,密度函数,表示为,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，,任何一个,一般的正态分布都可以通过线性变换转化为,标准正态分布.,则,N,(0,1),设,定理1,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数,制成表,，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,表中给的是,x,0时,(,x,),的值.,当-,x,0时,5、正态分布表,若,N,(0,1),若,N,(0,1),则,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，,的取值几乎全部集中在-,3,3,区间,内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,当,N,(0,1)时，,P,(|,|1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,|2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,|3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,6、3,准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,可以认为，,Y,的取值几乎全部集中在,区间内.,这在统计学上称作“,3 准则,”,（三倍标准差原则）.,14,一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,15,2,),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解,:设Y为,使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则YB(3,p),其中,正态分布表,下面介绍数理统计中常用的分位点的内容,）设,X,N(0,1),是一个已知正数，若数满足,7.,分位点,2),设,X,N(0,1),是一个已知正数，若数满足,反查1-0.0025对应的数,反查1-,/2对应的数,