从特殊三棱锥到一般三棱锥问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,解三棱锥,三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形,.,三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根,.,注意，三棱锥是个四面体，有,4,个面、,6,条棱,.,图形的认识，从特殊到一般：,（,1,）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥,.,（,3,）与直三角形对应的有直三棱锥,.,（,2,）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”,.,（,4,）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”,.,2,解正四面体,正四面体化归为正方体求解,.,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,由,6,条面对角线,A,1,D,、,BC,1,、,A,1,C,1,、,BD,、,A,1,B,、,DC,1,为棱的四面体即为,正四面体,A,1,-,BC,1,D,.,正四面体,A,1,-,BC,1,D,的棱长为,1,的正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,棱长的,倍；体积为正方体的,1/3,；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径,.,3,“,正直”三棱锥,我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”,.,它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，,1,个底面是正三角形,.,正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种,.,立式图中，,1,个侧面置于水平位置,.,可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线,.,4,解正直三棱锥,化为正方体求解,一、线线关系：,（,1,）相交垂直：,AD,DD,1,（,2,）相交,45,：,AD,与,AD,1,（,3,）相交,60,：,AD,1,与,AC,（,4,）异面垂直,AC,与,DD,1,距离为,/2,二、线面关系,（,1,）垂直：,AD,与,DCD,1,（,2,）交成,45,：,AD,与,ACD,1,三、面面关系,（,1,）垂直：三侧面两两之间,（,2,）交成,arctan,：如平面,ACD,1,与平面,ACD,5,正直三棱锥的高线,【,题目,】,若正直三棱锥,V,-,ABC,的侧棱长为,VA,=1.,求它高线,VH,的长度,.,设斜高在,ABC,上的射影为,H,，则,H,为,ABC,的中心,.,【,解,1,】,（斜高法）,正直三棱锥,V,-,ABC,中，易知,AB,=,BC,=,CA,=,斜高,VD,=/2,故有 高线,【,说明,】,正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 的,1/3.,6,【,题目,】,若正直三棱锥,V,-,ABC,的侧棱长为,VA,=1.,求它高线,VH,的长度,.,【,解,2,】,（等积法）立式图中，,易知正直三棱锥的体积为,【,证明,】,等积法常用来“求点到平面的距离”,.,又,故,得,7,正直三棱锥的外接球,【,题目,】,正直三棱锥的侧棱长为,1,，求其外半径长,.,正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径,.,一般探讨为,【,解答,】,易知正直三棱锥的“外心”,O,在高线,VH,的延长线上,.,设,VO,=,CO,=,x,，则,HO,=,又,由,OC,2,=,HO,2,+,HC,2,得,解得,8,考题展示,【,考题,】,（,2006,年川卷第,13,题）,【,分析,】,已知的三棱锥为正直三棱锥,.,【,解,1,】,立式图如右，,OM,在,ABC,上射影为,MC,，,OM,与,ABC,的成角为,OMC,.,【,说明,】,线面角（,OM,与,ABC,成角）化为线线角（,OM,与,MC,）亦即面面角（,C,-,AB,-,O,）,.,在三棱锥,O,-,ABC,，三条棱,OA,、,OB,、,OC,两两垂直且相等,.,M,为,AB,的中点,.,则,OM,与平面,ABC,的成角的大小为,.,设,OC,=,a,，则,OM=,故,OMC,=arctan,（答案）,9,【,考题,】,（,2006,年川卷第,13,题）,【,分析,】,已知的三棱锥为正直三棱锥,.,【,解,2,】,卧式图如右，,H,为底面正三角形,ABC,的中心,.,【,说明,】,本法容易误入迁解,.,如先求,OH,和,MH,的长度,.,在三棱锥,O,-,ABC,，三条棱,OA,、,OB,、,OC,两两垂直且相等,.,M,为,AB,的中点,.,则,OM,与平面,ABC,的成角的大小为,.,得,OMC,=arctan,（答案）,OM,与,ABC,的成角为,OMC,.,10,正方体内接三棱锥的个数,【,问题,】,以正方体,8,个顶点中的,4,个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥,.,求正方体内接三棱锥的个数,.,其中，共面的,4,点的个数是,（,1,）正方体的,6,个面；（,2,）正方体的,6,个对角面,.,故正方体的内接三棱锥有,70 12=58,（个）,【,答案,】,从,8,个顶点中任取,4,个的组合数为,【,说明,】,这,58,个三棱锥与正方体同外心，共外接球,.,11,“,长棱”三棱锥,正方体内接三棱锥可分四类,.,除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类,.,（,1,）斜三棱锥,(,图左,).,（,2,）底面为直三角形的直三棱锥,(,图右,).,它们各有,1,条长度为 的“长棱”，其外心在长棱的中点上,.,12,直正三棱锥,底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”,.,确定一个“直正三棱锥”需,2,个条件，即底棱长,a,和直棱长,b,.,“,直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只,1,个,.,直正三棱锥的四个面中：,（,1,）底面是正三角形；,（,2,）有,2,个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；,（,3,）另一个侧面为等腰三角形；,13,解直正三角形,（,1,）求三棱锥,P,-,ABC,的体积；,【,题目,】,三棱锥,P,-,ABC,中，,PA,面,ABC,，且,PA,=,，,又,AB,=,BC,=,CA,=1.,（,2,）求,A,到平面,PBC,的距离,.,【,解答,】,（,1,）,P,-,ABC,的体积,（,2,）设,A,到平面,PBC,的距离为,h.,易得三角形,PBC,的面积为,由等积原理：,（答案）,14,【,题目,】,三棱锥,P,ABC,中，,PA,面,ABC,，且,PA,=,，,又,AB,=,BC,=,CA,=1.,【,证明,】,易知,BO,AC,，又,BO,PA,由（,1,），（,2,）知,PC,平面,BOH.,【,说明,】,由此可知,BHO,为二面角,B,PC,A,的平面角,.,（,3,）,O,为,AC,的中点，,OH,PC,于,H,.,求证：,PC,平面,BOH,.,所以,BO,面,PAC BO,PC,（,1,）,又,OH,PC,（,2,）,15,正三棱锥,侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥,.,确定一个正三棱锥需,2,个条件,.,即侧棱长,b,和底棱长,a.,正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一条高线，如,CD,于水平线上,.,锥顶,V,在底面上的射影为底面正三角形的中心,H,.,截面三角形,VCD,为锥体的轴截面：,（,1,）侧棱与底面的所成角为,VCD,.,（,2,）侧面与底面所成二面角的平面角为,VDC,.,（,3,）截面三角形的高线,VH,就是锥体的高,.,16,正三棱锥的判断,【,考题,】,（,2005,年全国,题,16,）,下面是关于三棱锥的四个命题：,底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥,.,【,判定,】,由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推得三斜高在底面上的射影相等，从而确定,H,为底面三角形的中心,.,由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）,.,命题为真命题,.,它成为正三棱锥“判定定理”之一,.,17,正三棱锥的判断,【,考题,】,（,2005,年全国,题,16,）,下面是关于三棱锥的四个命题：,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥,.,【,判定,】,侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面三角形的边,.,如图右所示，可设,VC,=,BC,=,AC,，并让点,V,在直线,VD,上移动，可使,VAB,也为等腰三角形,.,故命题是个假命题,.,18,正三棱锥的判断,【,考题,】,（,2005,年全国,题,16,）,下面是关于三棱锥的四个命题：,底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥,.,【,判定,】,侧面的面积都相等，只须顶点,V,到三底边的距离相等,.,到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心,.,到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点，都分别与三边等距,.,故命题是假命题,.,19,正三棱锥的判断,【,考题,】,（,2005,年全国,题,16,）,下面是关于三棱锥的四个命题：,侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥,.,【,判定,】,由侧棱与底面所成的角都相等，可推断三条侧棱相等,.,由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，并推断底面三角形为正三角形,.,故三棱锥为正三棱锥,.,命题为真命题，它成为正三棱锥“判定定理”之一,.,20,【,证明（,）,】,ACB,=90,，,BC,AC,.,PA,底面,ABCD,，,PA,BC,BC,平面,PAC,.,（,）求证,:,BC,平面,PAC,；,直三棱锥到直四棱锥,像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解,.,【,题目,】,四棱锥,P,ABCD,中，,AB,CD,AD,=,CD,=1,，,BAD,=120,，,PA,=,ACB,=90.,21,【,题目,】,四棱锥,P,ABCD,中，,AB,CD,AD,=,CD,=1,，,BAD,=120,，,PA,=,ACB,=90.,【,证明（,）,】,易知,ADC,=60,（,）求二面角,DPCA,的大小；,又,AD=CD=,1,，,ADC,为等边三角形，且,AC,=1.,取,AC,的中点,O,，则,DO,AC,，,PA,底面,ABCD,，,PA,DO,，,DO,平面,PAC.,过,O,作,OH,PC,，垂足为,H,，连,DH,，由三垂线定理知,DH,PC.,DHO,为二面角,DPCA,的平面角,.,由,二面角,DPCA,的大小为,arctan2.,22,【,题目,】,四棱锥,P,ABCD,中，,AB,CD,AD,=,CD,=1,，,BAD,=120,，,PA,=,ACB,=90.,（,）求点,B,到平面,PCD,的距离,.,【,证明（,）,】,设点,B,到平面,PCD,的距离为,d,.,AB,CD,，,AB,平面,PCD,，,CD,平面,PCD,AB,平面,PCD,.,点,B,到平面,PCD,的距离等于点,A,到平面,PCD,的距离,.,【,说明,】,就是上面所说的“等积法”求点到平面的距离,.,23,三棱锥的外心,任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样,.,三角形的外心到三个顶点等距，这个距离就是三角形的外半径,.,三棱锥的外心到四个顶点等距，这个距离就是三棱锥的外半径,.,外心的“心、顶等距”性质，是我们寻找外心的依据,.,三棱锥外接球的球心，称作三棱锥的外心,.,24,外心位置的确定,等腰三角形的外心在底边的高线上；,正三角形的外心为其中心；,直三角形的外心在斜边的中点上,.,类比可以推出，一些特殊三棱锥的外心位置：,（,1,）正三棱锥的外心在底面的高线上,.,（,2,）正四面体的外心为其中心,.,（,3,）“长棱”三棱锥的外心在“长棱”的中点上,.,25,（,1,）试确定三棱锥外心位置,.,（,2,）求外半径的长度,.,【,解答,】,（,1,）,VA,AB,，取,VB,的中点,O,，,【,题目,】,三棱锥,V,ABC,中，底面,ABC,是边长为,1,的正三角形,.,且,VA,=,VC,=,，且,VA,AB,.,显然有,OV,=,OA,=,OB,又,VAB,与,VCB,全等,.,