最大值、最小值

3.8,函数的最大值与最小值,高三数学选修（,）第三章 导数与微分,Maximum Value&Minimum Value of Function,授课教师：游建龙,实际问题,如图，有一长,80,cm,宽,60,cm,的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于,10,cm,且,不大于,20,cm,设长方体的高为,xcm,，体积为,Vcm,3,问,x,为多大时，,V,最大,?,并求这个最大值,解：由长方体的高为,xcm,，,可知其底面两边长分别是,（,80,2,x,）,cm,，（,60,2,x,),cm,(10,x,20).,所以体积,V,与高,x,有以下函数关系,V,=,（,80,2,x,）（,60,2,x,）,x,=4,（,40,x,）（,30,x,）,x,.,一般地，在闭区间,a,b,上连续的函数,在,a,b,上必有最大值与最小值,.,若改为,(,a,b,),情况如何,?,a,b,最值存在定理,一般地，在闭区间,a,b,上连续的函数,在,a,b,上必有最大值与最小值,.,若改为不连续呢,?,连续,最值存在定理,求函数,在,内的极值,；,求,上的,连续,函数,的最大值与最小值的步骤,:,将,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),、,f,(,b,),比较，其中最大的,一个是最大值，最小的一个是最小值,例1,求函数,在,区间,上的最大值与,最小值,求,a,b,上连续函数 最值的方法,例题讲解,例,1,求函数,在区间,上的最大值与,最小值,解,：,从表上可知，最大值是13，最小值是4,13,4,5,4,13,2,(1,2),1,(0,1),0,(-1,0),-1,(-2,-1),-2,+,0,0,+,0,当,x,变化时,，,的变化情况如下表,：,令,，有,，解,得,单调性,（,2,）,将,的解对应的,函数值,f,(,x,),与,f,(,a,),、,f,(,b,),比较,，,其,中最大的一个是最大值,，,最小的一个是最小值,（,1,）,在,(,a,b,),内解方程,但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值,；,例题讲解,例1,求函数,在区间,上的最大值与最小值,解,：,从上表可知,，,最大值是,13，,最小值是,4,当,x,变化时,，,的变化情况如下表,：,令,，,有,，,解得,13,4,5,4,13,2,(1,2),1,(0,1),0,(-1,0),-1,(-2,-1),-2,+,0,0,+,0,例题讲解,所求最大值是13，最小值是4,例1,求函数,在区间,上的最大值与,最小值,解：,令,，有,解得,又,（,2,）,将,的解对应的,函数值,f,(,x,),与,f,(,a,),、,f,(,b,),比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,（,1,）,在,(,a,b,),内解方程,求,上的,连续,函数,的最大值与最小值的简化步骤:,课堂练习,求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值,.,实际问题,例,如图，有一长,80,cm,宽,60,cm,的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于,10,cm,且,不大于,20,cm,设长方体的高为,xcm,，体积为,Vcm,3,问,x,为多大时，,V,最大,?,并求这个最大值,解：由长方体的高为,xcm,，,可知其底面两边长分别是,（,80,2,x,）,cm,，（,60,2,x,),cm,(10,x,20).,所以体积,V,与高,x,有以下函数关系,V,=,（,80,2,x,）（,60,2,x,）,x,=4,（,40,x,）（,30,x,）,x,=4,x,3,280,x,2,4800,x,.,令,得,比较可知当,V,有最大值,解得,所以体积,V,与高,x,有以下函数关系,解：由长方体的高为,xcm,，,可知其底面两边长分别是,（,80,2,x,)cm,，（,60,2,x,),cm,(10,x,20).,V,=,f,(,x,)=,（,80,2,x,）（,60,2,x,）,x,=4,x,3,280,x,2,4800,x,.,2.,求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤,;,1.,在闭区间,a,b,上连续的函数在,a,b,上必有最大,值与最小值,;,课堂小结,课外作业,:,教材,P,139,练习,1,、,2,、,3.,3.,利用导数求闭区间,a,b,上的连续,函数最值的关键是 求得方程,(,x,a,b,),的根所对应的函数值,.,谢谢大家！,