类典型方程和定解条

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方程,第一章,三类典型方程和定解条件,第二章,分离变量法,第三章,Laplace方程的格林函数法,第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式,第一章,三类典型方程和定解条件,三类典型方程,数学物理方程的研究对象定解问题。一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：,一、波动方程,二、热传导方程,三、,拉普拉斯方程,若函数,u(x,t),关于,x,t,都是二次连续可微的，并满足：,则把上式（1.1）称为,齐次一维波动方程,。,则把上式（1.2）称为,非齐次一维波动方程,。,相应地，,f,(,x,t,),称作,与,u,无关的,自由项,。,若,u(x,t),满足：,一、,波动方程,同理，若函数,u(x,y,t),关于,x,y,t,都是二次连续可微的，并满足：,则把上式（1.3）称为,齐次二维波动方程,。,上式（1.4）称为,齐次三维波动方程,。,若函数,u(x,t),关于,t,是可微的，关于,x,是二次连续可微的，并满足：,则把上式（1.5）称为,齐次一维热传导方程,。,相应地，把上式（1.6）称为,非齐次一维热传导方程,。,若,u(x,t),满足：,二、,热传导方程,同理，若函数,u(x,y,t),满足：,则把上式（1.7）称为,齐次二维热传导方程,。,式（1.8）称为,非齐次三维热传导方程,。,若函数,u(x,y),与时间,t,无关，关于,x，y,是二次连续可微的，并满足：,则把上式（1.9）称为,二维拉普拉斯方程,。,三、,拉普拉斯方程,式（1.10）称为,三维拉普拉斯方程,。,用以说明初始状态的条件称为,初始条件,。用以说明边界上的约束情况的条件称为,边界条件,。,初始条件与边界条件,在前一节中，我们介绍了三类典型方程，讨论了将一个具体问题所具有的物理规律用数学式子来表示，除此以外，我们还需把这个问题所具有的特定条件也用数学形式表示。提出的条件应该能够用来说明某一物理现象的初始状态或边界上的约束情况。,比如说波动方程（1.3）其初始条件有两个，一个是参数,u,，一个是,u,的一阶导数。即：,一、,初始条件,都已知。,及,而热传导方程（1.7）其初始条件只有一个，就是参数,u,。即：,是已知。,另外，拉普拉斯方程是描述稳恒状态的，与初始状态无关，所以不提初始条件。,从具体问题出发归纳出三种类型的边界条件，这三种边界条件都可以用一个数学式子来表示,：,二、,边界条件,其中,s,是区域的边界，,n,是,s,的法外向单位矢量，,、,、,f,是定义在,s,上的已知函数，且：,+,0。若,0，此时,0，则式（1.11）是,第一类边界条件,；,若,0,，此时,0，,式（,1.11,）是,第二类边界条件,；若,0，,0，式（,1.11,）是,第三类边界条件,。如果式（,1.11,）右端的函数恒等于零，这种边界条件称为,齐次,的，否则，称为,非齐次,的。,定解问题的提法,前两节我们介绍了三种不同类型的偏微分方程并讨论了与其相应的初始条件和边界条件的表达形式，这些方程中出现的未知函数的偏导数最高阶都是二阶，而且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，则这种方程称为,二阶线性偏微分方程,。,二阶线性偏微分方程的一般形式：,其中，都只是 的已知,函数，与未知函数无关。,若一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中能使它变成恒等式，则此函数称为该方程的,解（古典解）。,初始条件和边界条件都称为,定解条件,。,把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个,定解问题,。,只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为,始值问题,（,或柯西问题,）。反之，只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为,边值问题,。既有初始条件又有边界条件的定解问题，称为,混合问题,。,一个定解问题提的是否符合实际情况，从数学角度来看，有三方面可以加以检验：,1、解的,存在性,，看定解问题是否有解。,2、解的,唯一性,，看是否只有一个解。,3、,解的,稳定性,，看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，若确实如此，则称此解是,稳定,的。,如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为,适定,的。,