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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 多元线性回归分析,1,第四章 多元线性回归分析,第一节 多元线性回归模型,第二节 最小二乘参数估计,第三节 回归拟合度评价和决定系数,第四节 统计推断和预测,2,第一节 多元线性回归模型,一、模型的建立,二、多元线性回归模型的向量、矩阵表,示法,三、模型的假设,3,一、模型的建立,模型形式,例,4,二、多元线性回归模型的向量、矩阵表示法,5,三、模型的假设,变量 和 之间存在多元线性随机函数关系,对任意 都成立,与 无关,当 时，,解释变量都是确定性的而非随机变量，而且,解释变量之间不存在线性关系,服从正态分布,6,第二节 最小二乘参数估计,一、最小二乘法和正规方程组,二、最小二乘估计的向量、矩阵形式,7,一、最小二乘法和正规方程组,样本回归方程,回归残差平方和,当 对 的一阶偏导数都等于,0,，得到正规方程组,那么,8,9,二、最小二乘估计的向量、矩阵形式,向量表示,回归方程的向量表示,回归残差向量,残差平方和,10,第一种方法求,B,11,第二种方法求,B,当 对 的一阶偏导数都等于,0,12,对于三变量线性回归模型,13,最小二乘估计的性质,一、线性性,二、无偏性,三、最小二乘估计量的方差和最小方差性,14,一、线性性,各个参数的最小二乘估计量,因为,是非随机取固定值的矩阵，所以,B,是,Y,的线性函数,15,二、无偏性,证明：,16,三、最小二乘估计量的方差和最小方差性,最小二乘估计量的方差,17,三、最小二乘估计量的方差和最小方差性,最小方差性：证明,18,三、最小二乘估计量的方差和最小方差性,因为,所以,19,对于三变量线性回归模型方差估计,20,回归残差和误差方差的估计,多元线性回归分析的残差序列,向量表示,21,回归残差和误差方差的估计,残差平方和的数学期望,误差项方差的无偏估计：,残差的标准差,22,误差方差估计,对于三变量回归模型，误差方差的估计：,对于有,K,个解释变量的多元回归模型即（,K+1,）变量回归模型误差方差的估计：,23,样本容量问题,最小样本容量,所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大似然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。,样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即,n,k,+1,因为，无多重共线性要求：秩,(,X,)=,k,+1,24,2,、满足基本要求的样本容量,从统计检验的角度,：,n,30,时，,Z,检验才能应用；,n-,k,8,时,t,分布较为稳定,一般经验认为,:,当,n,30,或者至少,n,3(,k,+1),时，才能说满足模型估计的基本要求。,模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明,25,第三节 回归拟合度评价和决定系数,两变量回归决定系数的公式,多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释变量联合解释了的,Y,的离差，在,Y,的总离差中占的比重。,26,多重可决系数可以表示为：,可以证明多重可决系数是模型中解释变量个数的不减函数，这给对比不同模型的多重可决系数带来缺陷，所以需要修正。,27,调整的可决系数,思想：可决系数只涉及到离差，没有考虑自由度。如果用自由度去校正所计算的离差，可纠正解释变量个数不同引起的对比困难。,调整的决定系数：,28,总离差,TSS,自由度为,n-1,回归平方和,ESS=,自由度为,k,残差平方和,RSS,自由度为,n-k-1,所以调整的可决系数为：,29,第四节 统计推断和预测,一、参数估计量的分布和标准化,二、统计推断和检验,三、预测,30,一、参数估计量的分布和标准化,参数估计量服从以下的正态分布：,或表示为,转化为标准正态分布的统计量,31,二、统计推断和检验,（,一）单个参数的显著性和置信区间,（二）参数的显著性检验,（三）回归显著性检验,32,（一）单个参数的显著性和置信区间,给定置信度要求，下面的不等式应该成立：,显著性检验：令 为,0,，根据,t,统计量水平进行判断。,因此参数 置信度为 的置信区间（或称区间估计）为：,33,（二）模型总体显著性检验,多元回归模型每个参数的显著性与模型总体的显著性并不一定一致，也就是全体解释变量总体对被解释变量是否存在明显影响的检验，称为,回归显著性检验。,回归显著性检验,的基本方法，是检验模型常数项以外所有参数同时为,0,的假设。,原假设：,34,回归显著性检验方法,对方程总体显著性检验需要在方差分析的基础上进行,F,检验。,1,、方差分析,在讨论可决系数时已经分析了总离差,TSS,的分解及自由度：,TSS,ESS+RSS,Y,的样本方差为：总离差,/,自由度 即,显然，,Y,的方差也可以分解为两部分，可用方差分析表分解,35,方差分析表,离差来源,平方和,自由度,方差,归于回归模型,K,ESS/K,归于残差,n K-1,RSS/(n-K-1),总离差,n-1,TSS/(n-1),36,F,检验,原假设,备选假设：,不全为,0,建立,F,统计量（可以证明）：,给定显著性水平 ，查,F,分布表中自由度为,K,和,n-K-1,的临界值 ，并通过样本观测值计算,F,值,37,F,检验,如果计算的,F,值大于,F,的临界值 ，,（小概率），则拒绝原假设，说明回归模型有显著意义，即所有的解释变量联合起来对,Y,有显著影响。,如果计算的,F,值小于,F,的临界值 ，,则接受原假设，说明回归模型没有显著意义，即所有解释变量联合起来对,Y,没有显著影响。,38,可决系数的显著性检验,由方差分析可以看出，,F,检验与可决系数有密切联系，二者都建立在对应变量离差分解的基础上。,F,统计量的值也可通过可决系数计算：,结论：对方程联合显著性检验的,F,检验，实际上也是对 的显著性检验。,39,四、预测,点预测,区间预测,t,统计量,40,四、预测,置信度为 的区间预测,41,案例分析,中国税收增长的分析,提出问题：改革开放以来，随着经济体制改革的深化和经济的快速增长，中国的财政收支状况发生了很大变化，为了研究影响中国税收收入增长的主要原因，分析中央和地方税收收入的增长规律，预测中国税收未来的增长趋势，需要建立计量经济模型。,42,理论分析：影响中国税收收入增长的主要因素可能有：,（,1,）从宏观经济看，经济整体增长是税收增长的基本源泉。,（,2,）社会经济的发展和社会保障等都对公共财政提出要求，公共财政的需求对当年的税收收入可能会有一定的影响。,（,3,）物价水平。中国的税制结构以流转税为主，以现行价格计算的,GDP,和经营者的收入水平都与物价水平有关。,（,4,）税收政策因素,43,建立模型,分析：以各项税收收入作为被解释变量,以,GDP,表示经济整体增长水平,以财政支出表示对公共财政的需求,以商品零售价格指数表示物价水平,税收政策因素较难用数量表示，就暂时不予考虑,模型设定为：,44,数据来源：,中国统计年鉴,其中：,Y,各项税收收入（亿元）,X1,国内生产总值（亿元）,X2,财政支出（亿元）,X3,商品零售价格指数（）,45,46,模型估计的结果：,模型检验：,拟合优度：可决系数 较高，调整的可决系数 也很高，表明模型拟合较好。,（,940.5953,）（,0.005577,）（,0.033236,）（,8.738139,）,t=-2.745784 3.956634 21.12505 2.744800,F=2717.332,df,=21,47,
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